正５胞体を正６００胞体にうまく内接させたいのであるが，それには４次の回転行列が必要と思われる．
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【１】３次の回転行列
空間を回転させる行列で直交変換となっているパラメータ数が３つの「回転」かつ「直交」行列として
(1)オイラー角に基づくもの
(2)ロール・ピッチ・ヨーに基づくもの
がある．(1)はｚ軸まわりの回転α→新しいｙ軸まわりの回転β→新しいｚ軸まわりの回転γ，(2)はｚ軸まわりの回転φ→新しいｙ軸まわりの回転θ→新しいｘ軸まわりの回転ψの３段階によって表すもので，両者に本質的な違いはない．
ｘ，ｙ，ｚ軸の周りの回転では使いにくいので，任意の軸の周りの回転行列を探してみたところ，単位ベクトル
ｎ＝（α,β,γ）
を回転軸とし，その周りに正の回転方向にθだけ回転する回転行列が見つかった．それはα，β，γは方向余弦で，α^2+β^2+γ^2＝１を満たすものとして
R(1,1)=α^2(1-cosθ)+cosθ
R(2,2)=β^2(1-cosθ)+cosθ
R(3,3)=γ^2(1-cosθ)+cosθ
R(1,2)=αβ(1-cosθ)+γsinθ
R(2,1)=αβ(1-cosθ)-γsinθ
R(1,3)=αγ(1-cosθ)-βsinθ
R(3,1)=αγ(1-cosθ)+βsinθ
R(2,3)=βγ(1-cosθ)+αsinθ
R(3,2)=βγ(1-cosθ)-αsinθ
で表される回転行列である．
４次の回転行列が必要になるのであるが，３次の場合と本質的に異なる構成方法とは思われない．ところが，実際に構成しようとするとうまくいかない．そこで思いついたのが四元数である．たとえば，
ω＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
は，
ω^2＝（−１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
ω^3＝−１
ω^4＝−（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
ω^5＝（１−ｉ−ｊ−ｋ）／２
ω^6＝１
より１の原始６乗根である．すなわち，ωは４次元空間内の６０°回転に対応していることになる．
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【２】四元数
数を実数から複素数に広げると大小の順序はまずくなりますが，平方根を常にとれるし，だから２次方程式は必ず解けるし，もっと一般に代数方程式は常に根をもつことになり，現象がずっと単純になって見通しよくなります．その意味で複素数は究極の数です．交流理論や相対論など物理学の進展の多くは複素数なしには成し遂げられなかったでしょう．
しかし，複素数は２次元平面上に存在すると考えてよい数体系であり，平面的あるいは曲面的な意味しかもちませんから，空間的な現象への応用を目指して，アイルランドの数学者ハミルトンは複素数を拡大した数体系を創造しました．
複素数ではかけ算は回転に相当し，平面上の回転をｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθとすればＺ’＝ｅｘｐ（ｉθ）Ｚと記述できますが，ハミルトンは３次元空間での回転を記述する試みの中から，複素数の類似である３個の実数の組からなる新しい数（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ）を導入して，（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ）（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ）のような積を同じ空間内のベクトル（α＋βｉ＋γｊ）として表そうとしました．しかし，空間の回転をとらえるというはじめのアイデアは失敗に終わり，結局，４次元へ跳躍することによって４個の実数の組よるなる四元数（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）を発明しました（１８４３年）．
四元数は複素数に似ていますが，ただ１つではなく３つの虚数をもつ数体系で，ｉ^2＝−１，ｊ^2＝−１，ｋ^2＝−１，ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊなる性質をもち，（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2となります．四元数ではかけ算の交換法則は成り立ちません（ａｂ≠ｂａ）．四則演算の法則に変更を加えない限り，３次元空間への拡張はできなかったのです．
複素数では加法，減法，乗法と０を除く除法が定義され，かつ，交換，結合，分配法則が適用できる数の集合＝体と呼ばれる代数的構造をなしています．実数は体を構成しますが，有理数は最小の体を，複素数は最大の体を構成します．したがって，複素数以上に数の世界を広げようとすると，われわれがなじんでいる交換法則などのどれかが壊れてしまいます．超複素数の世界ではある規則が犠牲にされなければなりませんが，ある規則を犠牲にする段になると，最も苦痛の少ないのは乗法の交換法則だったのです．
四元数は群，環，体などの代数的構造の理論という分野の中で不可欠な役割を担ったのですが，１８４３年，ハミルトンが発見して以来３次元運動の力学系を記述するために使われてきて，スペースシャトルの制御でも利用されています．また，電磁気学や相対性理論，三次元の非ユークリッド幾何学の法則を記述するのにも応用されています．
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【３】衝撃の事実
あれこれ試行錯誤していたのであるが，どうしてもうまくいかない．そこへ一松信先生から衝撃の手紙が舞い込んできた．１２０÷５＝２４なので，一見正６００胞体の１２０個の頂点からうまく選べば正５胞体が２４個含まれても良いように見えるが，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れないというものである．
一松先生の解説によると，
［１］正６００胞体の７２０本の辺がきれいに７２０個の正１０角形（平面にある真の正１０角形）をなすことに注意する．各頂点には６個ずつの正１０角形が通る．そして，中心対称の２頂点以外の任意の２点に対しては，その両方を頂点とする正１０角形がひとつ定まるか，両頂点を中心と結ぶ半径が垂直あるいは６０°の倍数になる．
［２］半径１の外接球面上で一対の点を北極と南極におくと，他の点を標準座標で表すと
緯度南北１８°と５４°の位置に１２点ずつ（正２０面体の頂点）計４×１２
緯度南北３０°の位置に２０点ずつ（正１２面体の頂点）計２×２０
赤道上に１２・２０面体の形の頂点３０
両極２点を加えて１２０個という位置である．
［３］したがって，北極からの距離は２ｓｉｎ１８°，２ｓｉｎ３６°，２ｓｉｎ５４°，２ｓｉｎ７２°，２ｓｉｎ３０°，２ｓｉｎ４５°，２ｓｉｎ６０°，２ｓｉｎ９０°のいずれかになるが，半径１の超球に内接する正５胞体の１辺は√（５／２）であり，このどれとも合わない．
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