（その１９）では，４次元正１２０胞体が「万有正多面体」であることは証明されたものの，４次元正多胞体の包含関係（巡礼）が完結したわけではない．巡礼を完結させるためにはさらなる包含関係が必要になる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正８胞体と正１６胞体

　正８胞体（４次元超立方体）は１６頂点（±１，±１，±１，±１）を結んでできる．正８胞体の双対では各胞の中心をとり，それらを頂点として結べば正１６胞体になる．

　　（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）

　正２４胞体の構成には他の方法もあり，正８胞体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，４本のベクトル（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１−，１），（１，−１，−１，１）は互いに直交し，長さは２すなわちもとの正８胞体の１辺の長さに等しい．この４頂点と中心に対する４頂点の合計８頂点は互いに直交する４本の軸上にあるから，正１６胞体をなすことになる．すなわち，３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができるが，４次元立方体では正１６胞体（４次元の正八面体）ができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】正２４胞体

　正２４胞体の頂点の座標は

　　（±１，±１，±１，±１）・・・正８胞体の頂点

　　（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）・・・正１６胞体の頂点

の２４点である．３次元空間で立方体の８頂点（±１，±１，±１）と正八面体の６頂点（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）を結ぶと菱形１２面体ができるから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体の４次元版と見ることができる．４次元ではその特殊性から本当に正多面体になるわけである．

　正２４胞体の頂点をうまくとると正１６胞体をなす．その代表的な軸は

　　（１，１，１，１），（１，１，１，−１），（２，０，０，０）

で，これらは互いに６０°をなすから，正２４胞体の二面角は１２０°になることがわかる．さらに，正２４胞体の２４個の頂点は８個ずつ３組の正８胞体に分割される（複合正多面体）．

　正２４胞体の構成には他の方法もあり，（±１，±１，０，０）を置換した２４点（±１，±１，０，０），（±１，０，±１，０），（±１，０，０，±１），（０，±１，±１，０），（０，±１，０，±１），（０，０，±１，±１）から作るものである（±１の個数は２つ）．これは正８胞体の２次元面２４個の中心をとったもの，またはその双対として正１６胞体の２４本の辺の中点をとったものである．たとえば（１，１，０，０），（１，−１，０，０），（０，０，−１，１），（０，０，１，１）を結ぶベクトルは互いに直交して長さがすべて等しくなる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】正６００胞体

　正６００胞体の頂点の座標は

　　（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）の置換と（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換で与えられる．（±τ，±１，±１／τ，０）は正２４胞体の頂点（±τ，±τ，０，０）を置換したものであるから，正６００胞体の１２０個の頂点は２４個ずつ５組の正２４胞体に分割される（複合正多面体）．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　正６００胞体の１２０個の頂点をうまくとると，正８，１６，２４胞体を作ることができることはわかったが，正５胞体の場合を考えてみる．４次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，０，０）

　　（０，１，０，０）

　　（０，０，１，０）

　　（０，０，０，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋３ｘ^2＝２

すなわち，

　　４ｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１−√５）｝／４

が得られる．

　ここまでは（その１９）と同じであるが，他の構成方法を採ってみよう．５個の頂点：

　　Ｖ1（１，０，０，０）

　　Ｖ2（０，１，０，０）

　　Ｖ3（０，０，１，０）

　　Ｖ4（０，０，０，１）

　　Ｖ5（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ）

の中心座標（体心）

　　（（ｘ＋１）／５，・・・，（ｘ＋１）／５）

また，底面

　　（１，０，０，０）

　　（０，１，０，０）

　　（０，０，１，０）

　　（０，０，０，１）

の重心（面心）は

　　（１／４，１／４，・・・，１／４）

それに隣接する面

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ）

　　（０，１，０，０）

　　（０，０，１，０）

　　（０，０，０，１）

の重心（面心）は

　　（ｘ／４，（ｘ＋１）／４，・・・，（ｘ＋１）／４）

であるから，中心座標（体心）

　　（（ｘ＋１）／５，・・・，（ｘ＋１）／５）

を原点に移動させると，２つの連接する面心ベクトルは

　　（１／４−（ｘ＋１）／５，１／４−（ｘ＋１）／５，１／４−（ｘ＋１）／５，１／４−（ｘ＋１）／５）

　　（ｘ／４−（ｘ＋１）／５，（ｘ＋１）／４−（ｘ＋１）／５，（ｘ＋１）／４−（ｘ＋１）／５，（ｘ＋１）／４−（ｘ＋１）／５）

これを伸縮すると，

　　Ｖ1（−σ／２，１／２τ，１／２τ，１／２τ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｖ5（１，１，１，１）

となる．（その１９）の双対が得られただけのことで，これでは正６００胞体にうまく内接するかどうかはわからない．本質的に異なる構成方法が必要と思われるが，次回の宿題としたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝