これまでの検討で，正多角形の元素数は∞，正多面体では４，５次元以上の正多胞体では３であることがわかっている．４次元空間の正多胞体では≧２と下限だけが与えられている．この状況をなんとか打破することはできないだろうか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】４次元空間の正多胞体
４次元多胞体では，頂点，辺，面，胞の個数の間に，シュレーフリの公式：
ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０
が成立する．これを高次元へ一般化したものがオイラー・ポアンカレの定理
ｆ0＝ｖ，ｆ1＝ｅ，ｆ2＝ｆ，ｆ3＝ｃ，・・・
であるが，４次元空間においては，点ｖは空間ｃと直線ｅは平面ｆと双対的に対応する．正多胞体の頂点数，辺数，面数，胞数を掲げる．
頂点数 辺数 面数 胞数
５胞体 ５ １０ １０ ５
８胞体 １６ ３２ ２４ １６
１６胞体 ８ ２４ ３２ ８
２４胞体 ２４ ９６ ９６ ２４
１２０胞体 ６００ １２００ ７２０ １２０
６００胞体 １２０ ７２０ １２００ ６００
次の表で（ｐ，ｑ）の組合せを調べると，それぞれ５個の４面体がｆ3，８個の立方体がｆ3，１６個の４面体がｆ3，２４個の８面体がｆ3，１２０個の１２面体がｆ3，６００個の４面体がｆ3である正多胞体であることを示している．
境界多面体 境界面ｐ 頂点に集まる面ｑ 辺に集まる胞ｒ
５胞体 正４面体 ３ ３ ３
８胞体 立方体 ４ ３ ３
１６胞体 正４面体 ３ ３ ４
２４胞体 正８面体 ３ ４ ３
１２０胞体 正１２面体 ５ ３ ３
６００胞体 正４面体 ３ ３ ５
また，この２つの表では，それぞれの詳細について，たとえば，正６００胞体（４次元正２０面体）は頂点数１２０，稜数７２０，正三角形数１２００で，６００個の正４面体状胞体が各辺のまわりにｒ＝５個ずつ集まっているという状況にあることがわかる．
このことをすべての正多胞体について記すのはやめておくが，言葉で説明する（あるいはこれを描く）のは易しいが，これを理解するのがいかに難しいかわかるだろう．端的にいって，人間の直観や勘が働くのはたがだか３次元空間までで，次元が大きくなるに従い，格子点の配位は非常に複雑となり，われわれが３次元空間でイメージするものとは大きく異なってくる．すなわち，高次元では幾何学的直観が効かないので，多胞体は理解するのが難しい対象ということなのである．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】４次元正多胞体の双対性
境界多面体 頂点数 双対性 ３次元対応
５胞体 正４面体 ５ 自己双対（非中心対称） 正４面体
８胞体 立方体 １６ １６胞体と双対 立方体
１６胞体 正４面体 ８ ８胞体と双対 正８面体
２４胞体 正８面体 ２４ 自己双対（中心対称）
１２０胞体 正１２面体 ６００ ６００胞体と双対 正１２面体
６００胞体 正４面体 １２０ １２０胞体と双対 正２０面体
４次元には６種類の正多胞体がある．正８胞体（４次元立方体）のほか，
正５胞体（４次元正４面体：自己双対）
正１６胞体（４次元正８面体）
正２４胞体（相当する正多面体はない：自己双対）
正１２０胞体（４次元正１２面体）
正６００胞体（４次元正２０面体）
である．正８胞体と正１６胞体，正１２０胞体と正６００胞体は互いに双対，正５胞体と正２４胞体はそれぞれ自分自身に双対である．
双対性からみて，正４面体，正６面体，正８面体の多次元への拡張はわかりやすいと思われるが，３次元空間の正１２面体，正２０面体，４次元空間の２４胞体，１２０胞体，６００胞体は，より高次元においては対応するものをもたない．しかし，それよりも，三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜正２４胞体，正１２０胞体，正６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいだろう．
ここで最も気になるのが正２４胞体である．正２４胞体に相当する３次元正多面体はない．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからである．
すなわち，正２４胞体（２４胞，正３角形のみからなる９６面，９６辺，２４頂点）こそが，四次元特有の物体であると考えられるのであるが，正２４胞体は，四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねてできることから，その意味で４次元版の菱形十二面体に相当する．
２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものであろう．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがある．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】４次元正多胞体の巡礼（包含関係）
［１］正８胞体（４次元超立方体）は１６頂点（±１，±１，±１，±１）を結んでできる．３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができるが，４次元立方体では正１６胞体（４次元の正八面体）ができる．
正８胞体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとる．４本のベクトル（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１，−１），（１，−１，−１，１）は互いに直交し，長さは２すなわちもとの正８胞体の１辺の長さに等しい．この４頂点と中心に対する４頂点の合計８頂点は互いに直交する４本の軸上にあるから，正１６胞体をなすことになる．（なお，３次元では正四面体，４次元では正１６胞体になったが，５次元以上の空間では正多面体にならず，１種の準正多面体になる．）
［２］正２４胞体の頂点の座標は
（±１，±１，±１，±１）・・・正８胞体の頂点
（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）・・・正１６胞体の頂点
の２４点である．３次元空間で立方体の８頂点（±１，±１，±１）と正八面体の６頂点（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）を結ぶと菱形１２面体ができるから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体の４次元版と見ることができる．４次元ではその特殊性から本当に正多面体になるわけである．正２４胞体の頂点をうまくとると正１６胞体をなし．その代表的な軸は
（１，１，１，１），（１，１，１−１），（２，０，０，０）
で，これらは互いに６０°をなす．
たとえば，ひとつの面（２，０，０，０），（１，１，１，１），（１，１，１，−１）の中心（４／３，２／３，２／３，０）に対し，この面を境とする胞（正八面体）の中心（１，１，０，０），（１，０，１，０）を結ぶ形となるから，正２４胞体の二面角は１２０°になることがわかる．
正２４胞体の構成には他の方法もあり，（その１４）で述べた（±１，±１，０，０）を置換した２４点から作るものである．これは正８胞体の２次元面２４個の中心をとったものである．
［３］３次元の正八面体の各辺を黄金分割した１２点をとると，正２０面体の頂点になるが，この操作を正２４胞体の各胞（正八面体）に施すと１２０個の正四面体に囲まれた準正多面体ができる．正６００胞体はこの図形から作ることができる．最初の正２４胞体の頂点をτ倍して（±τ，±τ，０，０）の置換と（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換をとるのであるが，正６００胞体の１２０個の頂点をうまくとると，正５，８，１６，２４胞体を作ることができる．
４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが，６００個の頂点の座標は
（±２，±２，０，０），（±√５，±１，±１，±１），（±τ，±τ，±τ，±１／τ^2），（±τ^2，±１／τ，±１／τ，±１／τ）の置換と（±τ^2，±１／τ^2，±１，０），（±√５，±１／τ，±τ，０），（±２，±１，±τ，±１／τ）の偶置換で与えられる．
これを√２倍して回転すると
（√５，√５，√５，１），（τ^2，τ^2，√５／τ，１／τ），（（３√５＋１）／２，１／τ，１／τ，１／τ），（τ√５，τ，１／τ^2，１／τ^2）およびこれに偶数個の負号をつけた点の置換，（（３√５−１）／２，τ，τ，τ），（３，√５，１，１）およびこれに奇数個の負号をつけた点の置換，（±４，０，０，０），（±２τ，±２，±２／τ，０），（±２，±２，±２，±２）の置換で与えられる．
興味深いことに，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．
正１２０胞体の胞の中心は正６００胞体の頂点をなし，それらを繋ぐ線分７２０本は正６００胞体の辺と同じ配置である．ところが，正６００胞体の辺はちょうど７２個の平面上の正１０角形をなし，その内角は１４４°，したがって正１２０胞体の二面角も１４４°となる．正１２０胞体の二面角が正確に１４４°であることはいささか意外であろう．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝