コーシーの剛性定理（１８１３年）より凸多面体は変形しないのですが，凸でない場合は変形する可能性があります．実際，２個の重五角錐が直角に交わったようなゴールドバーグのデルタ２０面体は，一方の重五角錐を押しつぶすともう一方の重五角錐が膨らむ，すなわち，変形するデルタ多面体として知られています．
ゴールドバーグのデルタ２０面体は，面の形を変えずに連続的に変形するという折り曲げ可能多面体ではなくて，３つの安定した形状をとるという多面体という意味の３安定多面体です．この変形多面体は，安定した形状から別の安定した形状への移行中には面は微かに曲がらなければならないのです．
なお，双子のデルタ１２面体はなので変形しません．また，双子のデルタ１６面体は唯一の安定した形状をとることがわかっています．→コラム「双子の正十六面体は変形するか？」参照
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【１】ヘロンの公式とオイラーの公式
ふいご予想の証明に用いられたものは四面体の体積をその辺の長さから求める３次元空間版のヘロンの公式です．線分と三角形および四面体（三角錐）は，それぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形ですが，次元数ｎより１つ多い（ｎ＋１）個の頂点によって作られる図形をシンプレックス（単体）と呼びます．線分は１次元単体，三角形は２次元単体，三角錐は３次元単体とも呼ばれます．
三角形の面積，四面体の体積を座標を使って表すためにはｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値を考えます．
｜Ｓ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜１ ｘ2 ｙ2｜ ｜１ ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜１ ｘ3 ｙ3｜ ｜１ ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
｜１ ｘ4 ｙ4 ｚ4｜
原点が含まれるときは，
｜Ｓ｜＝｜ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜ｘ2 ｙ2｜ ｜ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
のように展開されます．
これらはそれぞれｎ次元単体の体積のｎ！倍になりますから，三角形の面積，四面体の体積は，
Ｓ’＝Ｓ／２
Ｖ’＝Ｖ／６
また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は，
２^2（２！）^2Ｓ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｃ^2 １｜
｜ｂ^2 ｃ^2 ０ １｜
｜１ １ １ ０｜
２^3（３！）^2Ｖ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 ｃ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｄ^2 ｅ^2 １｜
｜ｂ^2 ｄ^2 ０ ｆ^2 １｜
｜ｃ^2 ｅ^2 ｆ^2 ０ １｜
｜１ １ １ １ ０｜
となります．
前者はおなじみの平面三角形のヘロンの公式にほかなりませんが，面積をＳ’＝Δとして，
（４Δ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）
ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと
Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）
となり，ヘロンの公式が得られます．
後者が空間のヘロンの公式であり，Ｖ’＝Δとして
（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）
−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2
一見複雑ですが，相対する線分の２乗の積に，他の線分の２乗の和から自分自身の２乗を引いた量をかけた和が
ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）
であり，４個の三角形の周辺３本の２乗の積の和が
ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2
です．
この公式はオイラーの公式（１７５２年）と呼ばれるものですが，複雑であり平面三角形のヘロンの公式のように因数分解できません．ただし，４面の面積が等しい等積四面体＝４面が合同な鋭角三角形よりなる四面体（バンの定理）の場合，
７２Δ^2＝（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）
と因数分解した形で表されます．
このようにかなり複雑にはなるものの四面体（三角形面４枚からなる立体）についてもヘロンの公式のようなもの（オイラーの公式）は存在します．四面体は最も単純な多面体（単体）で，あらゆる多角形が三角形分割できるようにすべての多面体は四面体に分割できます．この公式は体積と辺の長さの関係を示していて，もし多面体が形状を変えても辺の長さが同じであれば体積は変わらないというわけです．
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【２】重五角錐の開口関数
重五角錐に１本の切れ込みを入れると，口の開いた重五角錐が得られる．以下の写真は，その高さを減らすように押しつぶすと口の部分が開くというモデルであり，口の開いた重五角錐を２つ作り，両者を口の部分で直角に繋げたものが冒頭の写真である．
一方の開口重五角錐の高さｈから開口の大きさｗを求める．式はピタゴラスの定理から簡単に求められ，１辺の長さを１とすると
ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（５ａｒｃｔａｎ（３−ｈ^2）^-1/2）
これは他方の開口重五角錐の高さとなるから，
ｈ＝ｇ（ｗ）＝（４−ｗ^2）^1/2ｓｉｎ（５ａｒｃｔａｎ（３−ｗ^2）^-1/2）
ここで，２つの開口重五角錐が歪みなしに接合できるための条件は
ｈ＝ｇ（ｆ（ｈ）） ｈ：０〜１．０５１４６
である．畏友・阪本ひろむ氏にｇ（ｆ（ｈ））のテイラー級数を計算してもらったところ，
ｇ（ｆ（ｈ））＝．１２８３＋１．７４８０９ｈ^2−１．４１０９７ｈ^4＋．４８８９３５ｈ^6＋．０００３０９５３５ｈ^8−．２４８２３９ｈ^10＋．３０５３２９ｈ^12−．２８７３１５ｈ^14＋・・・
となった．
ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））のグラフを描いてみると，交点が３箇所あることがわかる．大雑把に数値計算してみると，
ｘ＝０．１４２３７０，ｘ＝０．６５４５３３，ｘ＝０．９８４７４７
が近似解となる．
これらは不連続であるから体積が連続した値を取りながら変わっていくことはないし，連続的に変えていくには面を曲げたり歪めたりする必要があることを意味している．
同じ長さの辺をもつ体積の異なる多面体の例として，屋根（あるいは床）付きのダンボール箱があげられる．出っ張った屋根を中に押し込めば辺の長さは変わらないのに体積はかなり小さくなる．これは２つの安定した形状をとる多面体の例として日常的によく見られるものである．一方，デルタ２０面体は３つの安定した形状をとる多面体となっている．すなわち，「変形するデルタ２０多面体」は「折り曲げ可能多面体」ではないのである．
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【３】デルタ２０面体の体積
ゴールドバーグのデルタ２０面体の設計では，合同な４面体１０個の組み合わせでデルタ２０面体ができあがるようにみえるが，いざ作ってみると，１０個の表面は繋がるのだが，あいだに空洞ができてしまうのである．中央に第１１の四面体が必要で，第１１の四面体で空洞を埋めると，デルタ２０面体ができあがる（１０＋１）．
１１個の四面体の辺の長さは１とｈで，１０個の四面体は１^5ｈで構成されるが，第１１の四面体は１^4ｈ^2である．１０個の四面体は長さｈの辺に１の辺が，第１１の四面体は長さｈの辺に長さｈ辺が対向して直交する四面体であるから，それぞれの体積はオイラーの公式より
ａ＝ｈ，ｂ＝１，ｃ＝１，ｄ＝１，ｅ＝１，ｆ＝１
ｖ＝（ｈ^2（３−ｈ^2））^1/2／６
ａ＝ｈ，ｂ＝１，ｃ＝１，ｄ＝ｈ，ｅ＝１，ｆ＝１
ｖ＝（ｈ^4（４−２ｈ^2））^1/2／６
となる．
したがって，
Ｖ＝｛１０（ｈ^2（３−ｈ^2））^1/2＋（ｈ^4（４−２ｈ^2））^1/2｝／６
ｈ＝０．１４２３７０ → Ｖ＝０．０００６７２
ｈ＝０．６５４５３３ → Ｖ＝０．１２６５８９
ｈ＝０．９８４７４７ → Ｖ＝０．２３２００１
ゴールドバーグのデルタ２０面体の体積はこの変形を通じて一定ではないのである．
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