すべての面が正三角形で構成されている凸多面体をデルタ多面体といいます．デルタ多面体の面数は

　　ｆ＝４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０

で全部で８種類あります．このうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体に，デルタ６面体（重三角錐），デルタ１０面体（重五角錘），デルタ１２面体，デルタ１４面体（三角柱の正方形面に四角錐を３個載せる），デルタ１６面体（四角反柱の正方形面に四角錐を２個載せる）はジョンソン立体にも分類されるのですが，デルタ多面体はそれらを含めて全部で８種類あり，面の総数が指定されれば面の配置は唯一に決定されます．逆にいうと，もし凸多面体の各面が正三角形ならば８つの多面体の中のどれかひとつであるということになります．

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【１】デルタ多面体

　オイラーの多面体定理は，８個の凸なデルタ多面体が存在することの証明の基礎にもなります．３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．

　また，正則な多面体とはその面が正多角形で，どの頂点にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ

でしたが，正則とは限らない一般の多面体では

　　Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，

　　Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

となります．

　デルタ多面体では，ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから

　　３ｆ＝２ｅ　　　（ｆは偶数）

　　３ｖ≦２ｅ≦５ｖ

これをオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

に代入すると

　　６≦ｅ≦３０

これより

　　４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）

が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．

　奇妙に感じられるかもしれませんが，デルタ１８面体は存在しません．このことは，１９４２年，フロイデンタールによって証明されたのですが，この証明は殊の外厄介で，結局は頂点数１１の形を分類してあらゆる可能性を調べても凸体にならないことを確かめるという手間を要します．ともあれ，ｆ＝１８（ｖ＝１１）はどうしても凸にならないのです．

　また，デルタ多面体は正三角錘，正四角錘，正五角錘，正三角柱，四角反柱に分解されるのですが，デルタ１２面体だけは例外です．デルタ１２面体は双子の正１２面体とも呼ばれてきた多面体ですが，この多面体の存在は他よりも初等的でなく，それを構成するには３次方程式の解を必要とします．

［補］この方程式は，ｘ^2＝ｚとおくと

　　ｚ^4−２１ｚ^3＋１３２ｚ^2−３２０ｚ＋２５６＝０

であるが，

　　（ｚ−４）（ｚ^3−１７ｚ^2＋６４ｚ−６４）＝０

となって３次方程式に帰着される．ゆえにデルタ１２面体は定規とコンパスによって作図可能ではない．

　デルタ多面体による空間充填は正四面体と正八面体の組み合わせがよく知られていますが，そのほかにはないのでしょうか？　デルタ多面体のすべての二面角を計算して空間充填の必要条件を満たす解を探索すると（正四面体，デルタ６面体）×（正八面体）の組み合わせしかないことがわかります．デルタ６面体は正四面体を２つ貼り合わせた立体ですから，デルタ多面体による空間充填は本質的に正四面体と正八面体の組み合わせのほかにはないといえるのです．

　なお，デルタ多面体に対して，正方形のみによる凸多面体は立方体，正五角形のみによる凸多面体は正十二面体しかなく，正六角形以上の正多角形ばかりでは凸多面体はできません．結局，１種類の正多角形でできる凸多面体は合計１０種類あることになります．

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【２】デルタ多面体による空間充填

　正三角形のみによる凸多面体がデルタ多面体である．ｆ＝４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０の８種類あり，ｆ＝１８はない．デルタ多面体による空間充填は正四面体と正八面体の組み合わせがよく知られているが，そのほかにはないのだろうか？

［１］デルタ充填

　デルタ多面体は双子の正１２面体を除くと，正三角錘，正四角錘，正五角錘，正三角柱に分解されるが，いろいろ試した結果，どの組み合わせもうまくいかないことがわかった．とはいってもすべての組み合わせについてしらみつぶしに検索したわけではないし，試行錯誤でそこまでやることは到底出来ない相談である．そこで，コンピュータで計算させることにした．

　　正四面体　→　ｃｏｓδ4＝１／３，δ4＝７０．５２８８

　　正八面体　→　ｃｏｓδ8＝−１／３，δ8＝１０９．４７１

　　正二十面体　→　ｃｏｓδ20＝−√５／３，δ20＝１３８．１９

　　△６面体　→　δ4＝７０．５２８８

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−７／９，δ＝１４１．０５８＝２δ4

　　△１０面体　→　δ20＝１３８．１９

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝（−５＋４√５）／１５，δ＝７４．７５４８

　　△１４面体　→　δ8＝１０９．４７１

　　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−√２／√３，δ＝１４４．７３６

　　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−√２／√３−１／６，δ＝１６９．４７１

　　△１６面体　→　δ8＝１０９．４７１

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−（√２−１）／√３，δ＝１０３．８３６

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−２（２√２−１）／７，δ＝１２１．４９４

　△１２面体の場合は３次方程式の解を必要とする．（この方程式とはｘ^2＝ｚとおくと，ｚ^4−２１ｚ^3＋１３２ｚ^2−３２０ｚ＋２５６＝０であるが，　　（ｚ−４）（ｚ^3−１７ｚ^2＋６４ｚ−６４）＝０

となって３次方程式に帰着される．ゆえに△１２面体は定規とコンパスによって作図可能ではない．）

　θ＝１／３・ａｒｃｔａｎ（２４√２３７／８８１）

　ｚ＝１／３｛１７−√９７（ｃｏｓθ＋√３ｓｉｎθ）｝＝１．６６１９６

　ｘ＝１．２８９１７

より，△１２面体の二面角は

　δ＝９６．１９８２

　δ＝１２１．７４３

　δ＝１６６．４４１

　これらすべての組み合わせについて

　　Σｎδ＝３６０

を満たす解を探索すると（正四面体，△６面体）×（正八面体）の組み合わせしかないことがわかった．デルタ多面体による空間充填は本質的に正四面体と正八面体の組み合わせのほかにはないのである．

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［２］ダ・ヴィンチの星

　凸多面体に限らなければ正三角形面のみからなる多面体は無数にできる．たとえば，正多面体のすべての面に正三角錘，正四角錘，正五角錘を載せた多面体（ダ・ヴィンチの星）は凸多面体ではない．デルタ多面体の面に正四面体をのせるだけでも新しいデルタ多面体が得られる．正八面体をねじれた柱のように積んでいくこともできるから，無限の可能性がでてくる．

　ダ・ヴィンチの星も加えたデルタ充填も存在しないだろうか？

　　正四面体＋正三角錐　→　ｃｏｓδ＝−２３／２７，δ＝２１１．５８６

　　立方体＋正四角錐　→　ｃｏｓδ＝−２√２／３，δ＝１９９．４７１

　　正八面体＋正三角錐　→　ｃｏｓδ＝−１／３，δ＝２５０．５２９

　　正十二面体＋正五角錐　→　ｃｏｓδ＝−（８＋３√５）／１５，δ＝１９１．３２

　　正二十体＋正三角錐　→　ｃｏｓδ＝（７√５−８√２）／２７，δ＝２７９．２４７

　　Σｎδ＝３６０

を満たす解を探索すると（正四面体，△６面体）×（正八面体＋正三角錐）の組み合わせしかないことがわかった．ダ・ヴィンチの星まで拡張しても，デルタ多面体による空間充填は本質的に正四面体と正八面体の組み合わせのほかにはないのである．

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