（その６）ではチェビシェフ多項式の性質として漸化式をあげましたが，それは連分数展開と表裏一体の関係にあります．とくに，有理分数式ｇ（ｘ）＝ｐ（ｘ）／ｑ（ｘ）を用いて最良近似する問題では連分数のカラクリを利用して扱います．
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【１】連分数
α＝［ｑ1，・・・，ｑn］＝Ｐn／Ｑn
Ｐ0＝１，Ｐ1＝ｑ1，Ｐn＝ｑnＰn-1＋Ｐn-2
Ｑ0＝０，Ｑ1＝１ ，Ｑn＝ｑnＱn-1＋Ｑn-2 (n=2,3,･･･)
で
ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n (n=1,2,･･･)
ＰnＱn-2−Ｐn-2Ｑn＝（−１）^n-1ｑn (n=2,3,･･･)
が成り立ちます．
また，
α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，ｑn，ｑn+1，・・・］
の部分列［ｑn，ｑn+1，・・・］に対して
αn＝［ｑn，ｑn+1，・・・］
なる実数αnを定めると
α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，αn］
＝（αnＰn-1＋Ｐn-2）／（αnＱn-1＋Ｑn-2）
が証明されます．
これに循環連分数になるという性質が加わって，ペル方程式の解が得られるのですが，
√ｍ＝［ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn，２ｑ1］ （周期ｎ）
αn+1＝［２ｑ1，ｑ2，・・・］＝√ｍ＋ｑ1
より
√ｍ＝（（√ｍ＋ｑ1）Ｐn＋Ｐn-1）／（（√ｍ＋ｑ1）Ｑn＋Ｑn-1）
ここで，
ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n (n=1,2,･･･)
より，
Ｐn^2−ｍＱn^2＝（−１）^n
となり，ペル方程式の解（Ｐn，Ｑn）が得られます．
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【２】高次元正多面体
チェビシェフ多項式は最良近似の問題と深く関連することは述べましたが，こんなところにもチェビシェフ多項式が現れるという例をあげてみましょう．
シュレーフリ記号（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1）で表されるｎ次元正多面体の基本単体を考えます．このとき
ｓｉｎ^2φ＝１−ｃｏｓ^2（π／ｐ1）／ｓｉｎ^2φ1
ｓｉｎ^2φ1＝１−ｃｏｓ^2（π／ｐ2）／ｓｉｎ^2φ2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｓｉｎ^2φn-3＝１−ｃｏｓ^2（π／ｐn-2）／ｓｉｎ^2φn-2
ｓｉｎ^2φn-2＝１−ｃｏｓ^2（π／ｐn-1）
これらをまとめて連分数に書き直すと
ｓｉｎ^2φ＝１−ｃｏｓ^2（π／ｐ1）｜１−ｃｏｓ^2（π／ｐ2）｜・・・｜１−ｃｏｓ^2（π／ｐn-2）｜１−ｃｏｓ^2（π／ｐn-1）＝Δ（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1）／Δ（ｐ2，・・・，ｐn-1）
最後の分数の形にするには漸化式で順次作ることができます．
ここで，ｃi＝ｃｏｓ（π／ｐi）として，基本行列Ｃ（三重対角行列）
［０，ｃ1，０，・・・・・］
［ｃ1，０，ｃ2，・・・・・］
Ｃ＝［０，ｃ2，０，・・・・・］
［・・・・・・・・・・・・］
［・・・，ｃn-2，０，ｃn-1］
［・・，・・・，ｃn-1，０］
と固有多項式Ｐn（λ）＝ｄｅｔ｜λＩ−Ｃ｜を作ります．これより，漸化式
Ｐn+1（λ）＝λＰn（λ）−ｃn^2Ｐn-1（λ） （ｎ≧２）
Ｐ1（λ）＝λ，Ｐ2（λ）＝λ^2−ｃ1^2
を得ることができます．
基本行列の固有値すなわちＰn（λ）＝０の根はすべて実単根で，隣り合う根の間に必ずＰn-1（λ）＝０の根があることが知られています．
ｐ2＝・・・＝ｐn-1＝３とすると，
Ｐn+1（λ）−λＰn（λ）＋（１／４）Ｐn-1（λ）＝０
これに２^n+1を乗じ，２^nＰn（λ）＝Ｑ（λ）とおくと
Ｑn+1−λＱn＋（１／４）＋Ｑn-1＝０
となります．λ＝ｃｏｓθとおくと，
ｔ＝ｃｏｓθ±ｓｉｎθ＝ｅｘｐ（±ｉθ）
ですから
Ｑn＝Ａｃｏｓｎθ＋Ｂｓｉｎｎθ
と書けます．
ところで，ｃｏｓｎθはｃｏｓθ＝λの多項式として書くことができて，第１種チェビシュフ多項式
Ｔ0（ｘ）＝１，Ｔ1（ｘ）＝ｘ，Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2−１，Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3−３ｘ，Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１，・・・
また，Ｔn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／２ｎ），ｋ＝１，３，５，・・・，２ｎ−１と表されます．
ｓｉｎの場合には番号をひとつずらせて，ｓｉｎ（ｎ＋１）θ／ｓｉｎθを考えると，第２種チェビシュフ多項式
Ｕ0（ｘ）＝１，Ｕ1（ｘ）＝２ｘ，Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2−１，Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3−４ｘ，Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１，・・・
また，Ｕn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／（ｎ＋１）），ｋ＝１，２，３，・・・，ｎと表されます．
［１］ｐ1＝４，ｃｏｓ^2（π／ｐ1）＝１／２の場合
Ｐn（λ）＝Ｔn（λ）／２^n-1
［２］ｐ1＝３，ｃｏｓ^2（π／ｐ1）＝１／４の場合
Ｐn（λ）＝Ｕn（λ）／２^n
ｐ2＝・・・＝ｐn-1＝３のとき，一般にＰn（λ）はＴn（λ）とＵn（λ）の一次結合として書くことができます．たとえば，
［３］ｐ1＝５の場合，
２^nＰn（λ）＝２τＴn（λ）−（τ−１）Ｕn（λ）
τ＝（１＋√５）／２
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