このシリーズでは「中川充填」・・・正１２面体＋立方体＋Ｊ91の３種類の多面体からなる充填構造を紹介してきた．また，（その１５）では「金原充填」・・・菱形３０面体＋立方体＋Ｊ91βの３種類の多面体からなる充填構造を紹介した．

　ところで，Ｊ91・立方体・正十二面体の３種類の立体による空間充填の双対に相当するのが，α・正八面体・正二十面体による空間充填であるが，正二十面体を含む空間充填では中川タイプ，すなわち，同じ５回回転対称性を有する多面体としての正二十面体＋立方体＋Ｊ91γの３種類の多面体からなる充填構造だって可能になるはずである．今回のコラムでは，Ｊ91γを設計してみることにした．

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【１】Ｊ91γの計量

　Ｊ91の頂点の座標は，

　　（±１，±τ，±１），（±τ^2，±１，０），（０，０，±τ）

の１４点から構成されるが，Ｊ91γではそれぞれ

　　（±（τ−τ^2／３），±τ^2／３，±（τ−τ^2／３）），（±τ，±１，０），（０，０，±１／τ）

となる．

　この多面体は正方形２枚，正三角形４枚，正三角形の３等分となる二等辺三角形８枚，１：√（３／５）：√（３／５）の二等辺三角形８枚よりなる２２面体である．金原博昭さんによる紙模型の写真である．

　充填構造の作り方としては，正２０面体をその稜線で接するように格子状に配置し，その隙間を立方体＋Ｊ91γで埋めていくというものである．

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【２】Ｊ91，Ｊ91β，Ｊ91γの体積

［１］Ｊ91の体積

　　大立方体：（２τ^2）^3

　　小立方体：２^3

　　正十二面体：２（１５＋７√５）

　　Ｊ91：２（１７＋９√５）／３

［２］Ｊ91βの体積

　　大立方体：（２τ^2）^3

　　小立方体：２^3

　　菱形３０面体：２０τ^3

　　Ｊ91β：８＋４√５

［３］Ｊ91γの体積

　　大立方体：（２τ）^3

　　小立方体：８（τ−τ^2／３）^3

　　正２０面体：４０（３＋√５）／１２

　　Ｊ91γ：２＋８６√５／８１

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【３】雑感

　５回回転対称性を有する多面体には正１２面体・菱形３０面体・正２０面体の他にも切頂２０面体，小菱形２０・１２面体，２０・１２面体など，いくつか興味ある多面体があるが，この辺で止めておこう．

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