１４面体というと，ケルビンの１４面体，ウィリアムスの１４面体の他に，重角錐台型（４^12６^2）やねじれ重角錐台型（５^12６^2）も考えられます．ねじれ重角錐台型はケルビンの１４面体と区別するために「ゴールドバーグの１４面体」と呼ばれています．ゴールドバーグの１４面体はspace fillerではありませんが，ウィア・フェランの１４面体にでてくる多面体です．
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【１】ゴールドバーグの１４面体
五角形面 平均会合面数 空間分割
α−１４面体（４^6６^8） なし ５．１４３ 可
β−１４面体（４^2５^8６^4） あり ５．１４３ 可
重角錐台 （４^12６^2） なし ４．２８６ 不可
ねじれ重角錐台 （５^12６^2） あり ５．１４３ 不可
ｍ≦６−１２／ｆ＜ｍ＋１
とおいて，どの面もｍ角形またはｍ＋１角形からなる多面体をメディアル多面体と呼びます．６−１２／ｆが多面体の平均辺数になっているからです．
ｆ≧１２のとき，メディアル多面体の構成は５^12６^(f-12)になります．ｆ＝１１のときｆ4＝１，ｆ5＝１０，ｆ＝１３のときｆ5＝１２，ｆ6＝１となるのですが，ｆ＝１１，１３のときメディアル多面体は存在しません．
また，４≦ｆ≦１５（ｆ≠１１，１３）のとき，メディアル多面体はちょうどひとつあります．とくにｆ＝４，６，１２に対し，メディアル多面体は正四面体，立方体，正１２面体になっています．ｆ≧１６のとき，メディアル多面体は少なくとも２種類あります．
ｆ＝１４のときメディアル多面体は５^12６^2型のねじれ重角錐台（truncated double skew pyramid）となります．もし，ゴールドバーグの予想が正しければ，ｆ＝１４のときの等周比の最小値はケルビンの１４面体（４^6６^8）ではなく，ゴールドバーグの１４面体（５^12６^2）によって達成されることになります．
M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)
によれば
等周比
４^6６^8 １５０．１２３
５^12６^2 １４３．８９ （軸の傾き：２６°５０′）
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【２】等周不等式
「周長Ｌの等しい平面領域で，最大の面積Ｓをもつものは円である．」これを別の表現にしたものが，等周不等式
「Ｌ^2≧４πＳ 等号は円に対してのみ成り立つ．」
です．
この節では，多面体に対する等周問題と取り上げますが，任意のｎ次元の等周不等式は，
Ｓ^n／Ｖ^(n-1)≧ｎ^nｖn （ｖnはｎ次元単位球の体積）
＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)
で表されます．
ｎ次元等周比（Ｃn）において，とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，
Ｃ2＝４π，Ｃ3＝３６π
すなわち，
Ｌ^2≧４πＳ
Ｓ^3≧３６πＶ^2
がわかります．以下，
Ｃ4＝2^7π^2，Ｃ5＝8/3*5^4π^2，Ｃ6＝6^5π^3，・・・
となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，２次元・３次元だけのようです．
また，凸体Ｖを囲む曲面Ｓにおいて，平均曲率は，
Ｈ＝１／２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2）
で定義されます．ここで，平均曲率の積分を
Ｍ＝∫Ｈｄｓ
で表すと，ミンコフスキーの不等式
Ｓ^2−３ＶＭ≧０
Ｍ^2−４πＳ≧０
これから直ちに
Ｓ^3≧３６πＶ^2
が導かれます．
ともあれ，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると，
Ｓ^3≧３６πＶ^2
が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．
多面体の等周問題は，単位球に外接する多面体では，
Ｖ＝Ｓ／３
となることから，
Ｓ^3／Ｖ^2＝９Ｓ＝２７Ｖ
が成り立ちます．したがって，与えられた面数ｎをもつ多面体に関する等周問題は，最小の体積または最小の表面積をもち，球に外接するｎ面体を定めるという問題に帰着されます．
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【３】ゴールドバーグの１４面体の計量
５^12６^2型のねじれ重角錐台は一意には決まりません．単位球に外接し，さらに球の中心と各面の重心を結ぶ直線がその面と直交するという条件をつけてみましょう．
ねじれ重角錐（ｎ^2５^2n）の五角形の頂点をＡ，辺ＣＤが正ｎ角形と組み合わさる辺とします．そして，空間座標を
Ａ（０，ｙ3，ｚ3）
Ｂ（−ｘ2，ｙ2，ｚ2）
Ｃ（−ｘ1，ｙ1，１）
Ｄ（ｘ1，ｙ1，１）
Ｅ（ｘ2，ｙ2，ｚ2）
また，放射線の中心を
Ｆ（０，０，ｚ0）にとります（ｚ3＝−ｚ2）．
５角形面の重心は
Ｇ（０，Ｙ，Ｚ）
Ｙ＝（２ｙ1＋２ｙ2＋ｙ3）／５，Ｚ＝（２ｚ1＋２ｚ2＋ｚ3）／５
で与えられます．
ここで∠ＯＦＢ＝θとすると
ｙ1／（ｚ0−１）＝ｙ2／（ｚ0−ｚ2）＝ｙ3／（ｚ0−ｚ3）
＝Ｙ／（ｚ0−Ｚ）＝Ｚ／Ｙ＝（ｙ2＋ｙ3）／２ｚ0＝ｔａｎθ
ｚ0＝１／ｓｉｎθ，Ｙ＝ｃｏｓθ，Ｚ＝ｓｉｎθ
また，
ｘ1／ｙ1＝ｘ2／ｙ2＝ｔａｎ（π／ｎ）
ｘ2／（ｙ2＋ｙ3）＝ｔａｎ（π／２ｎ）
さらに
ｙ1^2＝（Ｙ−ｙ1）^2＋（Ｚ−１）^2
より，
ｙ1＝（１−ｓｉｎθ）／ｃｏｓθ
ｙ2＋ｙ3＝２ｚ0ｔａｎθ＝２／ｃｏｓθ
ｘ2＝（ｙ2＋ｙ3）ｔａｎ（π／２ｎ）＝２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθ
ｙ2＝ｘ2／ｔａｎ（π／ｎ）＝２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθｔａｎ（π／ｎ）
ｙ3＝２ｚ0ｔａｎθ−ｙ2
Ｙ＝（２ｙ1＋２ｙ2＋ｙ3）／５
＝（２ｙ1＋ｙ2＋２ｚ0ｔａｎθ）／５＝ｃｏｓθ
に代入すると
２（１−ｓｉｎθ）／ｃｏｓθ＋２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθｔａｎ（π／ｎ）＋２／ｃｏｓθ＝５ｃｏｓθ
に帰着されます．これはｃｏｓθに関する４次方程式になり，数値解は
ｎ＝４のとき，θ＝２８．２０°
ｎ＝５のとき，θ＝２６．５６°
ｎ＝６のとき，θ＝２５．６６°
で与えられます．
M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)
の数値解とは約１°の差がありますが，いまのところ原因不明です．
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【４】ウィア・フェランの極小曲面
同じ体積の泡が集まっているときに，境界面積が最小となる泡の形は何だろうかという問いに対して，ケルビンの１４面体（４^6６^8）は１００年以上もの間，最も効率よく空間を充填する多面体として最善の答であったが，本当に表面積を最小化する多面体であるのかというと否定的であって，実はこの問題はいまでも未解決問題となっている．
もし，体積が同じで形の異なる２種類の多面体を組み合わせてみたら，ケルビン問題の反例がみつかるのでは・・・．そして，１９９４年，アイルランドの物性物理学者，ウィアは合金構造をヒントにもっと面積が小さくなる解を発見した．それは同じ体積の２種類の多面体による空間充填であって，不等辺五角形の面をもつ１２面体（５角形１２枚）と１４面体（５角形１２枚と６角形２枚：ゴールドバーグの１４面体）が１：３の割合で並ぶものである．
もちろん，この１２面体は正十二面体ではないし１４面体もケルビンの１４面体ではない．そして，ウィアの空間充填ではウィリアムズの１４面体（４^2５^8６^4）の場合と同様に辺や面には微妙な曲がりが含まれている．また，ウィアの空間充填ではウィリアムズの１４面体よりも多くの五角形の面をもつという特徴もあげられる．
そしてこれらの多面体の表面積はケルビンの１４面体よりも０．３％小さいことが判明したのである．曲面の高精度計算がコンピュータでできるようになったことがこの新発見に繋がったのであるが，辺や面を微妙に調節することによって空間充填が可能となる．
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