３次元では正四面体と正八面体の二面角が直角と有理比の補角（１８０°）になる．４次元では正５胞体と正６００胞体の二面角が直角と有理比の補角（２４０°）になる．それでは，５次元以上の正多胞体ではどうだろうか？

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【１】５次元以上の正多胞体

　正２ｎ胞体の二面角はつねに９０°であるが，５次元以上の空間では正ｎ＋１胞体の二面角は

　　ｃｏｓδ1＝１／ｎ，ｓｉｎδ1＝√（ｎ^2−１）／ｎ

正２^n胞体の二面角は

　　ｃｏｓδ2＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδ1＝（２√（ｎ−１））／ｎ

であり，二面角はｎとともに増加しそれぞ９０°，１８０°に近づく．

ｎ　　　　　　　δ1　　　　　δ2　　　　　δ1＋δ2

2 60.0001 90.0001 150

3 70.5288 109.471 180

4 75.5226 120 195.523

5 78.4631 126.87 205.333

6 80.406 131.81 212.216

7 81.7868 135.585 217.372

8 82.8193 138.59 221.41

9 83.6207 141.058 224.678

10 84.2609 143.13 227.391

11 84.7842 144.903 229.687

12 85.2199 146.443 231.663

13 85.5883 147.796 233.384

14 85.904 148.997 234.901

15 86.1775 150.074 236.251

16 86.4168 151.045 237.462

17 86.6278 151.927 238.555

18 86.8153 152.734 239.549

19 86.9831 153.475 240.458

20 87.1341 154.158 241.292

　二面角が４直角の整数分の１にならないのは，４次元において二面角がそれぞれ７２°と１２０°よりも大きくなるからである．また，このことから５次元以上の空間では３種の正多胞体しかありえないことになる．

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【２】直角と有理比

　４直角の整数分の１にならないことはわかったが，５次元以上の空間では正ｎ＋１胞体と正２^n胞体の二面角も直角と有理比にはならないだろうか？　たとえば，ａｒｃｃｏｓ（√３／２τ）の値が直角と有理比でないことを自明（暗黙の前提）とするわけにはいかないだろう．

　正ｎ＋１胞体と正２^n胞体の二面角の和についても

　　ｃｏｓ（δ1＋δ2）＝ｃｏｓδ1ｃｏｓδ2−ｓｉｎδ1ｓｉｎδ2＝−（ｎ−２）／ｎ^2−２（ｎ−１）√（ｎ＋１）／ｎ^2

であるから，同様の疑問が生ずる．

　（その１０）では，ｎ（≧５）次元の正多胞体元素定理を証明したが，このことを確認しない限り証明には不備があると思われる．証明したつもりで安心してはいられないのだが，これらが有理比にならないことを保証しているのが正多胞体元素定理なのである．（その１６）で述べたように，二面角が直角と有理比になるのは４次元の特殊性というよりも４次元までの特殊性と考えられそうである．

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