今回のコラムでは４次元正２４・６００胞体の二面角を求めてみることにします．隣接する胞の法線ベクトル同士のなす角ｃｏｓθから求めることができますが，４次元正１２０胞体では隣接する２胞を選び出すのに手間取っていて次回にまわしたいと思います．

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【１】正２４胞体の二面角

　正２４胞体の頂点の座標は

　　（±１，±１，０，０），（±１，０，±１，０），（±１，０，０，±１），（０，±１，±１，０），（０，±１，０，±１），（０，０，±１，±１）で与えられる（±１の個数は２つ）．

　胞Ａを 　胞Ｂを

　　（１，１，０，０） 　　（０，０，１，１）

　　（１，−１，０，０） 　　（０，１，０，１）

　　（１，０，１，０） 　　（０，１，１，０）

　　（１，０，−１，０） 　　（１，０，０，１）

　　（１，０，０，１） 　　（１，０，１，０）

　　（１，０，０，−１） 　　（１，１，０，０）

にとると，胞心は

　　（１，０，０，０）

　　（１／２，１／２，１／２，１／２）

となるから，法線ベクトル同士のなす角はｃｏｓθ＝１／２．したがって，二面角はｃｏｓδ＝−１／２（１２０°）となる．

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【２】正６００胞体の二面角

　正６００胞体の頂点の座標は

　　（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）と（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換で与えられる．（２，０，０，０）近くの頂点は

　　（τ，±１，±１／τ，０）

　　（τ，±１／τ，０，±１）

　　（τ，０，±１，±１／τ）

である．そこで

　胞Ａを 　胞Ｂを

　　（２，０，０，０） 　　（２，０，０，０）

　　（τ，１／τ，０，１） 　（τ，１，１／τ，０）

　　（τ，−１／τ，０，１） （τ，１／τ，０，１）

　　（τ，０，１，１／τ） （τ，０，τ，１／τ）

にとると，胞心は

　　（（３τ＋２）／４，０，１／４，τ^2／４）

　　（（３τ＋２）／４，τ／４，τ／４，τ／４）

　法線ベクトル同士のなす角はｃｏｓθ＝（３√５＋１）／８．したがって，二面角はｃｏｓδ＝−（３√５＋１）／８（１６５°ほど）となる．

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