正多面体の展開図を描いてみる．正四面体の展開図は正三角形，平行四辺形の２種類あり，どちらも平面充填図形である．立方体の展開図は回転と裏返しで同形になるものを除くと１１種類あり，意外なことにそのすべてが平面充填図形となる．正八面体は立方体の双対図形であるから，展開図の個数は等しく，ともに１１種類になる．正十二面体と正二十面体も互いに双対図形であり，展開図の総数は４３３８０種類にもなるそうである．
以上は正多面体を辺に沿って切ったときの展開図である．これだけでも何種類もの展開図ができるのだが，辺に沿ってではなく，たとえば紙でできた中空の正四面体をハサミで好き勝手に切って平面に展開することを考えてみる．このときハサミがすべての頂点を通らなければ平面に広げることはできないから，その条件だけは満たさなければならないが，これにより展開図の種類は無限になる．
コラム「正多面体の展開図と秋山の定理」では正多面体の好き勝手な展開図がすべて平面充填図形（すなわちタイル）になるものを扱ったが，今回のコラムでは面正則多面体（プラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデス角柱・アルキメデス反角柱・ジョンソン立体）の辺に沿って切ったときの展開図を考えて，少なくともひとつの展開図は平面充填可能な図形になるか否かという「シェパードの定理」を紹介したい．
［参］G.C. Shephard: Tessellation Polyhedra
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】プラトンの平面充填形
正多角形は無限に多く存在しますが，それでは「互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるでしょうか？」
この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明されます．正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形では，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会するとすると，正ｐ角形の一つの内角は２（１−２／ｐ）×９０°であり，一つの頂点の回りの内角の和はこれがｑ個集まって四直角ですから，
２ｑ（１−２／ｐ）＝４，すなわち，
１／ｐ＋１／ｑ＝１／２ （ｐ，ｑ≧３）
で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかありません．したがって，平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３つだけです．このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】アルキメデスの平面充填形
１種類の正多角形を使ったタイル張りはわかりましたが，それでは２種類以上の正多角形を使ったらどうでしょうか？ それを全部求めてみよといわれたらちょっと大変です．まず，どんな多角形を組み合わせたら，頂点のまわりを完全に埋めることができるかを考えてみましょう．
頂点のまわりには正三角形でも６個より多く並べることはできません．しかもこの場合は全部が正三角形に限ります．次に５個集まる場合は少なくとも正三角形が３個なければなりませんから，結局，５個の組は正三角形３個と正方形２個か，正三角形４個と正六角形１個の場合しかありません．次に４個の場合，正多角形をそれぞれｐ1 ，ｐ2 ，ｐ3 ，ｐ4 角形（ｐi ≧３）とすると，必要条件は
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＋１／ｐ4 ＝１
３個の場合は同様に
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＝１／２
と書けます．これを満たす３以上の正の整数の組を求めればよいことになります．
実際に解いてみると必要条件を満たす組は１７組できますが，十分条件を満たさない，すなわち，１点のまわりだけは完全に埋められても平面のタイル張りにならないものがでてきます．たとえば，正五角形，正十角形を含むものは実際にタイル貼りを完成させることができません．
十分条件を満たしたものだけを列挙すると
プラトンの平面充填形：（３^6），（４^4），（６^3）
アルキメデスの平面充填形：（３^4６），（３^3４^2），（３４^2６），（３^2６^2），（４８^2），（４６１２），（３１２^2）
ですが，（３^3４^2）には本質的に異なる並べ方が２通りあり，結局，求めるタイル張りであるアルキメデスの平面充填形は８種，ただ１種類の正多角形を使う場合の３通り（プラトンの平面充填形）を含めて全部で１１通りあることになります．
また，１１通りの基本領域はプラトンの平面充填形：（３^6），（４^4），（６^3）ではそれぞれ正三角形，正方形，正六角形ですが，アルキメデスの平面充填形では
（３^4６） ：正三角形：正六角形＝８：１
（３^3４^2）：正三角形：正方形＝２：１
（３４^2６）：正三角形：正方形：正六角形＝２：３：１
（３^2６^2）：正三角形：正六角形＝２：１
（４８^2） ：正方形：正八角形＝１：１
（４６１２）：正方形：正六角形：正十二角形＝３：２：１
（３１２^2）：正三角形：正十二角形＝２：１
となります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】面正則多面体がタイルになるための必要条件
アルキメデスの平面充填形は全部で８種ありましたが，アルキメデス立体やジョンソン立体は全部で何種類あるでしょうか？
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＋１／ｐ4 ＞１
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＞１／２
のすべての可能な解を列挙し，対応する多面体の存在・非存在を論じなければなりません，アルキメデスの平面充填形の最大ｐi角形は１２でしたが，その過程でアルキメデス立体，ジョンソン立体では１０になること，ｎ（≧１１）角形を含む面正則凸多面体は角柱か反角柱だけであることが証明されます．しかしながら，アルキメデス立体の１３種はともかくとしてジョンソン立体は９２種であることの完全な分類に達することは簡単ではありません．
また，これらの必要条件は等式でなく不等式に基づいていますから，面正則多面体の展開図が基本領域と同じになることは例外的といってよいのですが，
プラトン立体：正四面体，立方体，正八面体，正二十面体
アルキメデス立体：なし
アルキメデス角柱：立方体
アルキメデス反角柱：正八面体
ジョンソン立体：５個のデルタ多面体とＪ14，Ｊ15，Ｊ16
だけが必要条件を満たします．これらがタイル貼り可能であることは実際に模型で確かめてはじめてわかります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】ジョンソン立体がタイルになるための必要条件
面が正多角形の面正則多面体（プラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデス角柱・アルキメデス反角柱・ジョンソン立体）のなかで，各頂点の周りが一定な面で囲まれていないのはジョンソン立体だけです．すなわち，ジョンソン立体は非一様多面体ということになります．
これまで調べてきたアルキメデスの平面充填形はどの頂点でも一様なタイルでしたが，ジョンソン立体では非一様タイルを考える必要が生じます．非一様タイルを構成するには，たとえば，正六角形を正三角形６個で，正十二角形を正三角形１２個，正方形６個で置き換えたりします．また，（３，３，３，４，４）は正方形の帯と正三角形の帯の平行な帯，カゴメ格子（３，６，３，６）は正六角形と正三角形の組み合わせの帯からなっていますから，それらの帯の間に正方形の帯，正三角形の帯，正六角形と正三角形の組み合わせの帯などを挿入する作り方があります．
このようにすれば正三角形：正方形：正六角形比を一様タイルとは異なる値に定めた複雑なタイル貼りを構成することができます．非一様タイルからはＪ1（正四角錐）やＪ86（３^12４^2）がタイルになることが確かめられます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【５】雑感
しかし，Ｊ1，Ｊ86以外に展開図が平面充填可能となるジョンソン立体が存在するか否かはいまだわかっていません．展開図の個数が非常に多くなってしまうからです．私はシェパードの定理を拡張しようとしたとき，非一様タイルの存在に気づかないでいて，誤った結論を導きだしてしまったことを白状しておきます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝