このシリーズでは，菱形十二面体の白銀菱形を黄金菱形で，菱形三十面体の黄金菱形を白銀菱形で置き換えることを行ってきたが，対角線で折り曲げる方向（mountain fold, valley fold）から

(1)黄金菱形を長軸で山折りにしたｍ２４面体

(2)黄金菱形を短軸で谷折りにしたｖ２４面体

(3)白銀菱形を長軸で谷折りにしたｖ６０面体

(4)白銀菱形を短軸で山折りにしたｍ６０面体

の計４種類ができた．

　そして，おもしろいことに対角線の長軸方向で折り曲げられた２つの多面体(1)(3)において，ｍ２４面体の凸部はｖ６０面体の凹部にはぴったりはまりこむことがわかった．

　また，（その７）では

(1)黄金菱形を長軸で谷折りにしたｖ２４面体

(2)黄金菱形を短軸で山折りにしたｍ２４面体

(3)白銀菱形を長軸で山折りにしたｍ６０面体

(4)白銀菱形を短軸で谷折りにしたｖ６０面体

について検討した結果，

［１］黄金菱形を長軸で谷折りにしたｖ２４面体

　　→存在せず（長軸で山折りする場合は２つの解が得られるが，谷折り解は存在しない）．

［２］黄金菱形を短軸で山折りにしたｍ２４面体

　　→存在せず（くぼんだ頂点同士が重なり合ってしまう）．

［３］白銀菱形を長軸で山折りにしたｍ６０面体

　　→存在する

［４］白銀菱形を短軸で谷折りにしたｖ６０面体

　　→存在せず（短軸で山折りする場合は２つの解が得られるが，谷折り解は存在しない）．

　今回コラムでは，存在しうる解でこれまで検討しなかったものについて，計量を試みることにした．

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【１】第２種解の検討

［１］黄金菱形を長軸で山折りにしたｍ２４面体（第２種）

　長軸で山折りする場合は２つの解が得られるが，ｍ２４面体（第２種）の二面角は６７．６６１°となった．

［３］白銀菱形を長軸で山折りにしたｍ６０面体

　ｍ６０面体（第２種）の二面角は６７．６６１°となり，［１］と一致した．しかし，どちらも山折り同士なので［１］にはめ込むことはできない．

［４］白銀菱形を短軸で山折りにしたｍ６０面体（第２種）

　二面角はちょうど９０°となった．おもしろい現象である．

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【２】二面角関数

　立方体の二面角はπ／２（ｃｏｓδ6＝０，δ6＝９０°）ですが，他の正多面体については

　　正四面体　→　ｃｏｓδ4＝１／３，δ4＝７０．５２８８°

　　正八面体　→　ｃｏｓδ8＝−１／３，δ8＝１０９．４７１°

　　正十二面体　→　ｃｏｓδ12＝（１−φ^2）／（１＋φ^2）＝−√５／５，ｔａｎδ12＝−２，δ12＝１１６．５６５°

　　正二十面体　→　ｃｏｓδ20＝（１−φ^4）／（１＋φ^4）＝−√５／３，ｓｉｎδ20＝２／３，δ20＝１３８．１９°

と計算されます．正四面体と正八面体の二面角は互いに補角をなすというわけです．

　ｍ２４面体（第２種）の二面角関数は

　　ｔａｎδ8＝−２√２

　　ｔａｎθ＝（３／α^2−１）^1/2

として，

　　δ24＝δ8−２θ

　それに対して，ｍ６０面体の二面角関数は

　　ｔａｎδ20＝−２／√５

　　ｔａｎθ＝（３／β^2−１）^1/2

として，

　　δ60＝δ20−２θ

で与えられます．

　α＝φ，β＝√２のとき

　　ｔａｎ（δ8−２θ）＝ｔａｎ（δ20−２θ）＝２（√５＋√２）／３

すなわち，二面角は６７．６６１°となって，両者は完全に一致します．

　また，グラフを描いてみると交点は存在しないことがわかります．このことは，第２種解が青銅比（あるいは白銅比）

　　ω＝（７＋√２−√５＋√１０）^1/2／２＝１．５２８１１

のように魅惑的な比をもっていないことを意味しています．対角線の長さの比が青銅比の山折り異性体の二面角は２４面体では５３．３０１５°，６０面体では８２．０２°となります．

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