鋭角の等面単体が球面に内接することは自明であるが，球面三角法を用いて単位球に内接する条件を求めておきたい．

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　ｃｏｓＣ＝（ｃｏｓｃ−ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ）／ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ

　ここで，弧長を弦長に変換しておく．

　　ａ→２ａｒｃｓｉｎ（ａ／２）

と置けばよい．

　　ｃｏｓ｛２ａｒｃｓｉｎ（ａ／２）｝＝１−２（ａ／２）^2＝１−ａ^2／２

　　ｓｉｎ｛２ａｒｃｓｉｎ（ａ／２）｝＝ａ｛１−（ａ／２）^2｝^1/2

　ｃｏｓＣ＝（ｃｏｓｃ−ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ）／ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ

＝｛（１−ｃ^2／２）−（１−ａ^2／２）（１−ｂ^2／２）｝／ａｂ｛１−（ａ／２）^2｝^1/2｛１−（ｂ／２）^2｝^1/2

　ｓｉｎ^2Ｃ＝１−｛（１−ｃ^2／２）−（１−ａ^2／２）（１−ｂ^2／２）｝^2／ａ^2ｂ^2｛１−（ａ／２）^2｝｛１−（ｂ／２）^2｝

＝１−（１−ｃ^2／２）^2／△＋２（１−ｃ^2／２）（１−ａ^2／２）（１−ｂ^2／２）／△−（１−ａ^2／２）^2（１−ｂ^2／２）^2／△

　　△＝ａ^2ｂ^2｛１−（ａ／２）^2｝｛１−（ｂ／２）^2｝

　　▲＝ａ^2ｂ^2ｃ^2｛１−（ａ／２）^2｝｛１−（ｂ／２）^2｝｛１−（ｃ／２）^2｝

　ｓｉｎ^2Ｃ

＝１−（１−ｃ^2／２）^2／△＋２（１−ｃ^2／２）（１−ａ^2／２）（１−ｂ^2／２）／△−（１−ａ^2／２）^2（１−ｂ^2／２）^2／△

＝１−（１−ｃ^2／２）^2ｃ^2｛１−（ｃ／２）^2｝／▲＋２（１−ｃ^2／２）（１−ａ^2／２）（１−ｂ^2／２）ｃ^2｛１−（ｃ／２）^2｝／▲−（１−ａ^2／２）^2（１−ｂ^2／２）^2ｃ^2｛１−（ｃ／２）^2｝／▲

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　　Ｓ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π，Ｓ＝４π／４＝π

であるから，

　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２π，Ａ＋Ｂ＝２π−Ｃ

　　ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝ｃｏｓＣ

　　退屈で長い計算が続きそうなので，次回の宿題としたい．

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