元の三角形△ＡＢＣの辺の長さを使って表すと，

　　ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃ・ｃｏｓα

　　ｃｏｓα＝（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）／２ｂｃ

　同様に

　　ｃｏｓβ＝（ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）／２ｃａ

　　ｃｏｓγ＝（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）／２ａｂ

　これを

　　△ＡＢＣ：△ＡＥＦの相似比は１：ｃｏｓα

　　△ＡＢＣ：△ＢＤＦの相似比は１：ｃｏｓβ

　　△ＡＢＣ：△ＣＤＥの相似比は１：ｃｏｓγ

　　垂心三角形△ＤＥＦと元の三角形△ＡＢＣの面積比は

　　１：（１−ｃｏｓ^2α−ｃｏｓ^2β−ｃｏｓ^2γ）

に代入して整理すればよい．

ｃｏｓ^2α＋ｃｏｓ^2β＋ｃｏｓ^2γ

＝（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）^2／４ｂ^2ｃ^2＋（ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）^2／４ｃ^2ａ^2＋（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）^2／４ａ^2ｂ^2

以下，割愛する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ＥＦ＝ａ・ｃｏｓα

　　ＤＦ＝ｂ・ｃｏｓβ

　　ＤＥ＝ｃ・ｃｏｓγ

に代入してヘロンの公式を使うことも考えられるが，省略．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝