■良い配置(その7)

【1】有限射影平面

 次の4つの条件は同値である.

[1]どの直線もn+1点を含む

[2]どの点もn+1本の直線に含まれる

[3]全部でn^2+n+1個の点が存在する

[4]全部でn^2+n+1本の直線が存在する

[定理]n=1,2  (mod4)のとき,位数nの射影平面が存在するならば,nは2つの平方数の和

  n=x^2+y^2

で表される.

[定理]位数n=6,14,21,22,・・・の射影平面は存在しない.

[定理]位数n=2,3,4,5,7,8→射影平面は同型を除いて一意.

    位数n=9→4つの同型でないものが存在する.

    位数n=10→同型を除いて一意.

    位数n=12,15→未解決(反例は見つかっていない).

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【2】有限アフィン平面

 次の4つの条件は同値である.

[1]どの直線もn点を含む

[2]どの点もn+1本の直線に含まれる

[3]全部でn^2個の点が存在する

[4]全部でn^2+n本の直線が存在する

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