今回のコラムでは，（その６）で検討したαの形について座標を用いて再検討することにした．

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【１】αの計量

　１辺の長さが１のとき，正２０面体の頂点座標を

　　（０，１／２，（１＋√５）／４）＝（０，１／２，ａ）

の巡回置換で表すことにする．

　また，このとき正２０面体の面間距離は

　　（３＋√５）／２√３

正８面体の面間距離は

　　√２／√３

であるから，立方格子の１辺の長さは

　　（３＋√５＋２√２）／３

となる．そこで，

　　（３＋√５＋２√２）／６＝ｂ

とおくことにする．

　αの頂点座標はａ，ｂをパラメータとしてパラメトライズすることができて，３４面のうち２枚の四角形が長方形，４枚の三角形が二等辺三角形であることがわかった．長方形とはいってもその縦横比は

　　１：２（ｂ−ａ）＝１：１．０７０１３

であるが，αはジョンソン・ザルガラー立体ではないことになる．

　座標データは省略するが，座標からαの体積を求めることは難しそうなので断念，（その４）で行ったように空間充填多面体であることを用いて体積計算するほうがずっと簡単である．

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【２】雑感

　これでαの木工模型を作るための準備はできた．なお，金原博昭さんによるｍ２４等面体とｖ６０等面体の隙間を埋める多面体βはαの変形になっていることを申し添えておく．

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