（その４）では正八面体と正二十面体を集めたこの３角形面のみによるスポンジ型無限多面体のポリドロン模型を作った．その際，駒が足りず部分模型しか作ることができなかったが，今回のコラムでは正三角形のユニットを買い足して，αの形について検討することにした．

　「ポリドロン」は東京書籍がその取り扱い店となっている．

　　連絡先：tel:03-5390-7513,fax:03-5390-7409（大山茂樹）

また，「ポリドロン」による多面体の構成では

　　佐藤一麦（中学１年生）

　　佐藤千種（幼稚園）

の協力を得た．

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【１】αの形

　増築したとはいっても部分模型には変わりはないが，αの形はかなりとらえやすくなった．正八面体と正二十面体の隙間を埋める多面体は三角形３２枚と四角形２枚よりなる提灯あるいは鼓に似た凹多面体３^32４^2となる．

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【２】αの体積の近似計算

　この凹多面体は立方体１，四角錐４，四角反柱２に分解可能である．頂点の座標を計算すれば，正三角形面あるいは正方形面からのずれを検証することができると思うが，ここでは（座標を求めずに）この多面体の体積を近似計算してみることにする．

［１］正四角錐

　１辺の長さが１の正方形の外接円の半径をａとすると

　　ａｓｉｎπ／４＝１／２　→　ａ＝１／√２

また，正四角錐の高さをｈとすると，ｈ^2＋ａ^2＝１であるから，

　　ｈ^2＝１−ａ^2＝１／２　→　ｈ＝１／√２

　　ｖ＝ｈ／３＝１／３√２

［２］四角反柱

　反角柱の高さは

　　Ｈ^2＝１^2−（２ａｓｉｎπ／８）^2＝１／√２　→　Ｈ＝（１／√２）^1/2

　反角柱の高さＨｔ（０≦ｔ≦１）での断面積を計算する．切り口は八角形になるが，その辺の長さはｃ＝ｔ，ｄ＝１−ｔで周長は常に一定であることがわかる．それぞれの辺と中心軸との距離は

　　ｃ’＝（ａ−１／２）（１−ｔ）＋１／２，ｄ’＝（ａ−１／２）ｔ＋１／２

であるから，断面積は

　　ｓ＝４／２（ｃｃ’＋ｄｄ’）＝４｛（ａ−１／２）ｔ（１−ｔ）＋１／４｝

　体積は

　　ｖ＝Ｈ∫(0,1)ｓｄｔ＝Ｈ（２ａ＋２）／３

　　　＝（１／√２）^1/2（２＋√２）／３

で与えられる．

［３］立方体＋四角錐＋四角反柱

　　ｖ＝１＋２√２／３＋（１／√２）^1/2（４＋２√２）／３＝３．８５６８１

　この値は（その４）で求めた値

　　ｖ＝（１５３＋５６√２＋６７√５＋７２√１０）／１６２＝３．７６３５６

とほぼ一致している．少し食い違っている点については次回の宿題としたい．

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