■純アルキメデス立体(その3)

 非特異3次曲線がでてきたついでに,楕円曲線

  y^2=x^3+ax+b

の群構造についてみておきたい.

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 楕円曲線上の点A(x1,y1),B(x2,y2)を結ぶ直線ともとの楕円曲線との交点(x3,−y3)のx軸について対称な点C(x3,y3)をA+Bと定義する.

[1]加法公式

  x3={(y2−y1)/(x2−x1)}^2−x1−x2

  y3={(y2−y1)/(x2−x1)}(x1−x3)−y1

[2]A=Bのとき,倍角公式(C=2A)

  x3={(3x1^2+a)/2y1}^2−2x1

=(x1^4−2ax1^2−8bx1+a^2)/4(x1^3+ax1+b)

  y3={(3x1^2+a)/2y1}(x1−x3)−y1

 加法公式とは違って,倍角公式は楕円曲線の係数に依存する.

[3]P(x,y)の逆元は−P(x,−y)となる.

P(x1,y1),Q(x2,y2)とすると,P−Q=P+(−Q)であるから,

  x3={(−y2−y1)/(x2−x1)}^2−x1−x2

  y3={(−y2−y1)/(x2−x1)}(x1−x3)−y1

[4]3Pは2P+P,kPは(k−1)P+Pとして求めることができる.

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