■純アルキメデス立体

 準正多胞体という用語は,使う人によって定義が異なるので注意が必要である.ここでは,2種類のファセット

  正単体P20=αp+3

  正軸体P11=βp+3

をもつ3〜8次元の純アルキメデス立体P21(pure Archimedean polytope)について紹介したい.

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[0]2次元(−2)21,頂点数3

[1]3次元(−1)21,頂点数6,E3=A2×A1,α2×α1

[2]4次元021,   頂点数10,E4=A4,t1α4

[3]5次元121,   頂点数16,E5=D5,hγ5

[4]6次元221,   頂点数27,E6

[5]7次元321,   頂点数56,E7

[6]8次元421,   頂点数240,E8

[7]9次元521,   頂点数∞,E9=E8~

 E8の位数は

  240・56・27・16・10・6・2

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 なお,

  1/p+1/q+1/r>1

でなく

  1/(p+1)+1/(q+1)+1/(r+1)>1

より,

  (p+1)(q+1)+(q+1)(r+1)+(r+1)(p+1)>(p+1)(q+1)(r+1)

  (p+1)(q+1)+(q+1)(r+1)+(r+1)(p+1)>(p+1)(q+1)(r+1)

  pq+qr+rp+2(p+q+r)+3>pqr+pq+qr+rp+(p+q+r)+1

  n=p+q+r+1>pqr−1

が従う.

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