（その１）〜（その３）ではぺル方程式の一般解について紹介したが，今回はペル方程式の特殊解にあたるいくつかのおもしろい恒等式を紹介したい．

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【１】Speckmann-Ricaldeの恒等式

　　（ｋ^2ｍ±１）^2−（ｋ^2ｍ^2±２ｍ）ｋ^2＝１

ｋ＝１とおけば

　　（ｍ±１）^2−（ｍ^2±２ｍ）１^2＝１

ｋ＝ｍ，ｍ＝１とおけば

　　（ｍ^2±１）^2−（ｍ^2±２）ｍ^2＝１

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【２】Ramasamyの恒等式

　　［（４ｍ−２）（ｍ＋１）^2＋１］^2−［（２ｍ＋１）^2−４］［２ｍ（ｍ＋１）］^2＝１

　この恒等式はSpeckmann-Ricaldeの恒等式

　　（ｋ^2ｍ＋１）^2−（ｋ^2ｍ^2＋２ｍ）ｋ^2＝１

において，ｋ＝ｍ＋１，ｍ＝４ｍ−２とおいて得られる．

　Ramasamyの恒等式において，ｍ＝ｔ＋１とおけば

　　（４ｔ^3＋１８ｔ^2＋２４ｔ＋９）^2−（４ｔ^2＋１２ｔ＋５）（２ｔ^2＋６ｔ＋４）^2＝１

　また，Ａ^2−ＤＢ^2＝−１の場合

　　（Ａ^2＋ＤＢ^2）^2−Ｄ（２ＡＢ）^2＝１

であるから，このことを利用すれば恒等式

　　｛２［ｍ^3＋（ｍ＋１）^3］｝^2−［（２ｍ＋１）^2＋４］［ｍ^2＋（ｍ＋１）^2］^2＝−１

が得られる．

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【３】Ramasamyの3-parameter恒等式

　　（ｍｔ^3＋ｎｔ^2＋１）^2−（ｍ^2ｔ^4＋２ｍｎｔ^3＋ｎ^2ｔ^2＋２ｍｔ＋２ｎ）ｔ^2＝１

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