■相転移モデル(その7)

【1】二項係数の偶奇性

(Q)(a+b)^nの二項展開の係数は,nが2^k−1の形であるとき,そのときに限りすべて奇数となることを証明せよ.

(A)(a+b),(a+b)^2,・・・,(a+b)^n-1に対して成り立っていると仮定して,(a+b)^nに対しても成り立つことを証明する.

 両端の1を除くn−1個の二項係数は

  n/1=n,n(n−1)/1・2,・・・,n(n−1)・・・1/1・2・・・(n−1)=n

 これらがすべて奇数であるための必要十分条件は

[1]両端のnが奇数であること

[2]残りの数の分母、分子から奇数を取り去って作られる数が奇数であることである.

 n=2m+1とおけば,これらの数は

  m/1=m,m(m−1)/1・2,・・・,m(m−1)・・・1/1・2・・・(m−1)=m

で表される.m<nであるから,このm−1個の数はmが2^k-1−1の形であるとき,そのときに限りすべて奇数となる.

  n=2m+1=2(2^k-1−1)+1=2^k−1

より,QED.

===================================