■フェルマー数と7(その2)

 フェルマー数Fnは

  Fn=2^(2^n)+1

で定義される.たとえば,F73=2^(2^73)+1.

F0=3,

F1=5,

F2=17,

F3=257,

F4=65537,

F5=2^(2^5)+1=2^32+1=4294967297=641×6700417

F6=2^64+1=274177×67280421310721

F7=59649589127497217×5704689200685129054721,

では,F0,F1を除き,最後の桁が7になる.

 すなわち,n=2,3,・・・に対して,2^(2^n)の最後の桁は6であることを示そう.

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  2^(2^2)=16

  2^(2^3)={2^(2^2)}^2=16^2

  2^(2^4)={2^(2^3)}^2=(16^2)^2

  2^(2^5)={2^(2^4)}^2=((16^2)^2)^2

  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 こうして,F73=2^(2^73)+1の最後の桁は7であることがわかる.(最後の3桁は897である.)

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 最後の方が6である数の平方は,最後の桁が6になることは明らかであろう.

  (10k+6)^2=10(10k^2+12k)+36=10(10k^2+12k+3)+6

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