■連続数のピタゴラス三角形(その6)

 (その5)の続き.

  xn+1+√2yn+1=(3+2√2)(xn+√2yn)

          =(3xn+4yn)+√2(2xn+3yn)

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  an+1=3an+4bn,bn+1=2an+3bn

  an+1=3an+4bn=3an+4(2an-1+3bn-1)

 =3an−an-1+3(3an-1+4bn-1)=6an−an-1

  bn+1=2an+3bn=2(3an-1+4bn-1)+3bn

 =3(2an-1+3bn-1)+3bn−bn-1=6bn−2bn-1

より

  an+1=6an−an-1,bn+1=6bn−bn-1

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 α,βを2次方程式x^2−6x+1=0の根(3±2√2)として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)=α^n(a1−βa0)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)=β^n(a1−βa0)

 したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^n(a1−βa0)−β^n(a1−αa0)}/(α−β)

α=(3+2√2,β=3−2√2,

初期値をa0=1,a1=3とすると

  an={α^n2√2+β^n2√2}/4√2

  an={α^n+β^n}/2

初期値をa0=−1,a1=1とすると

  an={α^n(4−2√2)+β^n(4+2√2)}/4√2

 整数列{bn}でも同じ漸化式ですから,同じ一般項になります.

  bn={α^n(b1−βb0)−β^n(b1−αb0)}/(α−β)

初期値をb0=0,b1=2とすると

  bn={α^n2−β^n2}/4√2={α^n−β^n}/2√2

初期値をb0=1,b1=1とすると

  bn={α^n(2+2√2)+β^n(2+2√2}/4√2

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