■分割数(その2)

【4】ポアソンの総和公式

 より正確には,

lnP(e^-t)=ζ(2)/t+1/2lnt/2π−t/24+lnP(e^-4π^2/t)

 p(n)を評価する問題は数論において研究されていて,ラマヌジャンが予想した注目すべき漸近近似式

  p(n) 〜 1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

は,1918年,ハーディーとラマヌジャンによって,円周法を用いて証明が与えられています.

 これはハーディーとラマヌジャンによる重要な結果のひとつですが,その後,分割関数はラーデマッハーによって修正され,完全な明示公式

  p(n)=1/π√(2)Σk^(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}

  λn=√(n-1/24),Ak(n)には1の24乗根が関係する

が与えられました(1937年).

===================================

【5】粗い近似と詳しい近似

 p(100)=190569292

[1]p(n) 〜 1/4n√(3)exp(π√(2n/3))(1+O(n^-1/2)

 p(100)〜1.993×10^8

[2]p(n) 〜 1/4n√(3)exp(π√(2n/3))(1−1/π・√3/2n)(1+O(xexp(−π√(n/6))

  ここで,n←n−1/24

 p(100)〜1.90568944.783

===================================