■ピタゴラス三角形と7(その9)

 ピタゴラス三角形の直角を挟む辺をa,bとする.このとき,

  a,b,a−b,a+bのどれかは7で割り切れる

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[証]a^2+b^2=c^2

  a=p^2−q^2,b=2pq,c=p^2+q^2

とおく.

  a+b=p^2−q^2+2pq

  a−b=p^2−q^2−2pq

  a^2−b^2=(p^2−q^2)^2−(2pq)^2=p^4−6p^2q^2+q^4

  p^4−6p^2q^2+q^4=p^4+p^2q^2+q^4  (mod 7)

[0]a=7k   → a^2=0,a^4=0  (mod 7)

[1]a=7k+1 → a^2=1,a^4=1  (mod 7)

[2]a=7k+2 → a^2=4,a^4=2  (mod 7)

[3]a=7k+3 → a^2=2,a^4=4  (mod 7)

[4]a=7k+4 → a^2=2,a^4=4  (mod 7)

[5]a=7k+5 → a^2=4,a^4=2  (mod 7)

[6]a=7k+6 → a^2=1,a^4=1  (mod 7)

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 a,bは7の倍数ではないと仮定する.[1]〜[6]のすべての組み合わせについて,ことごとく調べるのであるが,

  p^2−q^2=0  (mod7)

の場合は,a,bが7の倍数ではないとする仮定に反する.

 また,対称性を考慮して[1]〜[3]のすべての組み合わせについて,考えればよいことになる.

[1]×[1]:p^4+p^2q^2+q^4=1+1・1+1=3(NG)→しかし,これはa,bが7の倍数ではないとする仮定に反するので考える必要がない.

[1]×[2]:p^4+p^2q^2+q^4=1+1・4+2=7

[1]×[3]:p^4+p^2q^2+q^4=1+1・2+4=7

[2]×[2]:p^4+p^2q^2+q^4=2+4・4+2=20(NG)→考える必要なし

[2]×[3]:p^4+p^2q^2+q^4=2+4・2+4=14

[3]×[3]:p^4+p^2q^2+q^4=4+2・2+4=12(NG)→考える必要なし

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