９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3

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【１】４立方数和定理？

　それ以外の数はすべて８個でうまくいく．リニックはもう少し例外を降らして立方数の数を７にまで減らした．実際，十分大きな整数は，高々７つの立方数の和となる．

　ダヴェンポートはほとんどすべての整数がたった４つの立方数の和となることを証明した．４個より多くの立方数は必要な数として，知られている最大の数は７３７３１７０２７９８５０で，これより大きい数は存在しないと予想されている．証明されてはいないが，有限個の例外を認めた場合の立方数の数は４だと考えられているのである．

　負の数も使えば，

　　２３＝８^3＋８^3＋（−１）^3＋（−１０）^3

と，２３をたった４個の立方数の和で表すことができる．１０００万までのすべての整数に対して，このことが確かめられている．

　このような実験に基づいて，多くの数学者はすべての整数は４つの立方数（正負どちらでもよい）の和で表すことができると予想している．デムヤネンは９ｋ±４の形でないすべての整数は４つの立方数の和であることを証明しているという．

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