■三角数について(その4)

(Q)△+△=△を満たす整数解はあるか?

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(A)x(x+1)/2+y(y+1)/2=z(z+1)/2

両辺を8倍して2を加えると

  (2x+1)^2+(2y+1)^2=(2z+1)^2+1

ここで,2x+1=X,2y+1=Y,2z+1=Z,1=Wとおくと

  X^2+Y^2=Z^2+W^2

 すなわち,□+□=□+□?という問題に帰着されますが,□+□=□+□に対しては,

  (ab−cd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)

  (ab+cd)^2+(ad−bc)^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)

より,恒等式:

(ab−cd)^2+(ad+bc)^2=(ab+cd)^2+(ad−bc)^2

がよく知られていて,ab−cd,ad+bc,ab+cdが奇数で,ad−bc=1を満たすものをみつける問題に帰着されたことになります.

 ad−bc=1なる行列

  J=[a,b]

    [c,d]

をn乗した行列を

  J^n=[A,B]

     [C,D]

とすると,常にAD−BC=1が成り立ちますから,ab−cd,ad+bc,ab+cdが奇数となるもの,たとえば,

  J=[3,2]

    [1,1]

からスタートして2乗,3乗,・・・していきます.

 すると,mod2でみて,

  [1,0]と[1,0]

  [1,1] [0,1]

が交互に現れますが,ab−cd,ad+bc,ab+cdが奇数となるのは

  [1,0]

  [1,1]

のみであることがわかります.

 そこで,

  [1,0]   (mod2)

  [1,1]

となるような任意の行列をひとつ選び,その奇数乗のときだけ採用することにして,

  2x+1=ab−cd,2y+1=ad+bc,2z+1=ab+cd

なるx,y,zを求めると,△+△=△となります.

 たとえば,

  J=[3,2]→(x,y,z)=(2,2,3)

    [1,1]

  J^3=[41,30]→(x,y,z)=(532,450,697)

     [15,11]

  J^5=[571,418]

     [209,153]

→(x,y,z)=(103350,87362,135327)

など無限に解が得られます.

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