ａn^2−５ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（９，４）である．

　ａn^2−２ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（３，２）である．

　ａn^2−３ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（２，１）である．

　これで準備は整った．

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　（その２）では

　　ａn+1＝１６１ａn＋３６０ｂn，ｂn+1＝７２ａn＋１６１ｂn

　　ｕn＝３ｂn＋ａn／３

　　ｖn＝３ｂn−ａn／３

　　ｗn＝４ｂn

とおくと，

　　ｕn^3＋ｖn^3−ｗn^3−ｕn−ｖn＋ｗn

＝（ｕn＋ｖn）（ｕn^2−ｕnｖn＋ｖn^2−１）−ｗn^3＋ｗn

＝２ｂn（ａn^2−５ｂn^2−１）＝０

より，

　　（ｕn^3−ｕn）／６＋（ｖn^3−ｖn）／６＝（ｗn^3−ｗn）／６

が得られた．

　　ｕn＝ｘｂn＋ｙａn

　　ｖn＝ｘｂn−ｙａn

　　ｗn＝２ｚｂn

とおくと，

　　ｕn＋ｖn＝２ｘｂn

　　ｕn^2＋ｖn^2＝２ｘ^2ｂn^2＋２ｙ^2ａn^2

　　−ｕnｖn＝−ｘ^2ｂn^2＋ｙ^2ａn^2

　　ｕn^3＋ｖn^3−ｗn^3−ｕn−ｖn＋ｗn

＝（ｕn＋ｖn）（ｕn^2−ｕnｖn＋ｖn^2−１）−ｗn^3＋ｗn

＝２ｘｂn（ｘ^2ｂn^2＋３ｙ^2ａn^2−１）−８ｚ^3ｂn^3＋２ｚｂn

＝２ｂn（ｘ^3ｂn^2＋３ｘｙ^2ａn^2−ｘ）＋２ｂn（ｚ−４ｚ^3ｂn^2）

＝２ｂn（ｘ^3ｂn^2＋３ｘｙ^2ａn^2−ｘ＋ｚ−４ｚ^3ｂn）

［１］ｍ＝５の場合

　　３ｘｙ^2＝１

　　ｘ^3−４ｚ^3＝−５

　　ｘ−ｚ＝１

　　（ｚ＋１）^3−４ｚ^3＝−５

　　３ｚ^3−３ｚ^2−３ｚ−６＝０

　　ｚ^3−ｚ^2−ｚ−２＝０

　　（ｚ−２）（ｚ^2＋ｚ＋１）＝０→ｚ＝２，ｘ＝３，ｙ＝１／３

［２］ｍ＝２の場合

　　３ｘｙ^2＝１

　　ｘ^3−４ｚ^3＝−２

　　ｘ−ｚ＝１

　　（ｚ＋１）^3−４ｚ^3＝−２

　　３ｚ^3−３ｚ^2−３ｚ−３＝０

　　ｚ^3−ｚ^2−ｚ−１＝０→ＮＧ

［３］ｍ＝３の場合

　　３ｘｙ^2＝１

　　ｘ^3−４ｚ^3＝−３

　　ｘ−ｚ＝１

　　（ｚ＋１）^3−４ｚ^3＝−３

　　３ｚ^3−３ｚ^2−３ｚ−４＝０→ＮＧ

［４］アイゼンシュタインの基準

　ｆ（ｘ）＝ａnｘ^n＋・・・＋ａ0

　ｐを素数とする．

　ａ）ａnはｐで割り切れない．

　ｂ）ａn-1，・・・，ａ0はｐで割り切れる．

　ｃ）ａ0はｐ^2で割り切れない．

のとき，既約多項式である．

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［まとめ］ｍ＝５の場合が最も簡単であることがわかった．

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