（その２）では，ラマヌジャンのクイズ

　　√（１＋ａ√（１＋（ａ＋１）√（１＋（ａ＋２）√（１＋・・・））））

を取り上げた．

　　ｆ（ｘ）＝√（１＋ｘ√（１＋（ｘ＋１）√（１＋（ｘ＋２）√（１＋・・・））））

とおくと，

　　√（１＋ｘｆ（ｘ＋１））＝ｆ（ｘ）

　　ｆ（ｘ）^2＝１＋ｘｆ（ｘ＋１）

より，すべてのｘに対して

　　ｆ（ｘ）＝ｘ＋１

で与えられる．ｘ＝２ならば答えは３，ｘ＝１０^45ならば答えは１０^45＋１となるというわけである．

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【１】分割数とラマヌジャンの合同式

　ラマヌジャンは分割数p(n)が満たす合同式について，披整除性

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

　　ｐ（５９９）＝０　　ｍｏｄ５^3

　　ｐ（７２１）＝０　　ｍｏｄ１１^2

を予想し，それらを証明しています．

　５や７や１１のような素数がなぜこのような合同式を生み出すかについては未だに謎とされています．

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【２】分割数の合同式

　分割数で成り立つ別の合同式としては，２０００年に数学者ケン・オノが発見した

　　ｐ（５４^4×１３ｎ＋１１１２４７）＝０　　ｍｏｄ１３

があります．驚いたことに，彼は無限個の合同式があることも証明したのです．

　その後，ウィーバーが発見した式は次のようなものです．

　　ｐ（１１８６４７４９ｎ＋５６０６２）＝０　　ｍｏｄ１３

　　ｐ（１４３７５ｎ＋３４７４）＝０　　ｍｏｄ２３

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【３】雑感

　ラマヌジャンの発見

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

の後，研究者たちは分割数の同様の性質を見つけようとしたが，２０００年になるまですべて失敗に終わった．

　コラム「正多角形の対角線の交点数」で紹介した問題も一見単純そうにみえるのであるが，３本以上の対角線が１点で交わる場合を考慮しなければならないので，古くから難問として知られていたそうである．多くの試行錯誤がなされたが，すべて失敗に終わり，１９９０年のPoonenとRubinsteinまで正しい公式は見つけられなかったのである．

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