［Ｑ］ｘがｎ桁の保型数ならは，３ｘ^2−２ｘ^3は２ｎ桁の保型数であることを証明せよ．

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　　ｘ＝０　（ｍｏｄ５^n）かつｘ＝１　（ｍｏｄ２^n）

または

　　ｘ＝１　（ｍｏｄ５^n）かつｘ＝０　（ｍｏｄ２^n）

のとき，

　　（３ｘ^2−２ｘ^3）^2＝３ｘ^2−２ｘ^3　　（ｍｏｄ１０^2n）

　　３ｘ^2−２ｘ^3＝０　（ｍｏｄ５^2n）かつ３ｘ^2−２ｘ^3＝１　（ｍｏｄ２^2n）

または

　　３ｘ^2−２ｘ^3＝１　（ｍｏｄ５^2n）かつ３ｘ^2−２ｘ^3＝０　（ｍｏｄ２^2n）

であることを証明すればよい．

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　以上のことをまとめて表現すると，ｐ＝２，５に対して

　　ｘ＝ｑｐ^n＋ｒ，ｒ＝０または１

　　ｘ＝ｘ^2＝ｘ^3　　（ｍｏｄｐ^n）

　　ｒ＝ｒ^2＝ｒ^3　　（ｍｏｄｐ^n）

　したがって，

　　ｘ^2＝ｑ^2ｐ^2n＋２ｑｐ^nｒ＋ｒ^2＝２ｑｐ^nｒ＋ｒ（ｍｏｄｐ^2n）

　　ｘ^3＝ｑ^3ｐ^3n＋３ｑ^2ｐ^2nｒ＋３ｑｐ^nｒ^2＋ｒ^3＝３ｑｐ^nｒ＋ｒ（ｍｏｄｐ^2n）

　　３ｘ^2−２ｘ^3＝（６ｑｐ^nｒ＋３ｒ）−（６ｑｐ^nｒ＋２ｒ）＝ｒ　　（ｍｏｄｐ^2n）

が成り立つ．

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　たとえば，ｘ＝７６の場合，

　　３ｘ^2−２ｘ^3＝−８６０６２４＝９３７６　　（ｍｏｄ１０^4）

　　９３７６は４桁の保型数

ｘ＝３７６の場合

　　３ｘ^2−２ｘ^3＝−１０５８９０６２４＝１０９３７６　　（ｍｏｄ１０^6）

　　１０９３７６は６桁の保型数

ｘ＝９３７６の場合はオーバーフローした．

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