■連分数の測度論(その31)

  (12log2/π^2)・logn+1.467

=0.842767・logn+1.467

 除算ステップの回数について,クヌース

  D. Knuth, Tha art of computer programming

を参照したところ,

  0.843・logn+1.47

でよく近似されるとある.

  1/ln2・∫(0,1)lnx/(1+x)dx

=−1/ln2・∫(0,∞)uexp(−u)/(1+exp(−u))du

=−1/ln2・Σ(−1)^k+1∫(0,∞)uexp(−ku)du

=−1/ln2・(1−1/4−1/9+1/16−1/25−・・・)

=−1/ln2・(1+1/4+1/9+1/16+・・・−2(1/4+1/16+1/36+・・・))

=−1/2ln2・(1+1/4+1/9+1/16+・・・)

=−π^2/(12ln2)

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  τn=(12log2/π^2)・logn+C+O(n^-1/6+ε)

  C=6ln2/π^2・{3ln2+4γ−24π^-2ζ’(2)−2}−1/2

を証明したのは

  Porter JW: MathematiKa 22(1975),20/28

である.

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