■連分数の測度論(その26)

  qn=Σα^n-2k/(n−2k)!・(n−k)!/k!

を超幾何関数としてみてみたい.

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 kは0から始まるので,

α^n-2k-2/(n−2k−2)!・(n−k−1)!/(k+1)!/

α^n-2k/(n−2k)!・(n−k)!/k!

=α^-2(n−2k)(n−2k+1)/(n−k)(k+1)

=−(k−n/2)(k−(n+1)/2)/4(k−n)・α^-2/(k+1)

F(−n/2,−(n+1)/2:−n:−1/(2α)^2)

また,初項はα^nであるから,級数は超幾何級数

α^nF(−n/2,−(n+1)/2:−n:−1/(2α)^2)

であると同定される.また,上部パラメータの片方は負の整数であるから級数は有限になる.

 調べてみたところ,

F(−n/2,−(n+1)/2:−n:x)

=(2/1+(1−x)^1/2)^-n-1

=(2/1+(1−x)^1/2)^n+1

 以上より

gn=α^n(2/1+(1+1/(2α)^2)^1/2)^n+1

となる.

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