【１】レヴィの定数

　実数ｘのｎ項までの連分数展開ｐn／ｑnとする．ほとんどすべての実数に対して，

　　（ｑn）^1/n→ｅｘｐ（π^2／１２ｌｏｇ２）＝３．２７５８２２９２・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　すなわち，近似分数の分母が

　　（Ｂn)^1/n→ｅｘｐ（π^2/12log2)＝３．２７５８２・・・

になることを示されているのですが，標準連分数の場合，

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn］＝Ｐn／Ｑn

　　Ｐ0＝１，Ｐ1＝ｑ1，Ｐn＝ｑnＰn-1＋Ｐn-2

　　Ｑ0＝０，Ｑ1＝１ ，Ｑn＝ｑnＱn-1＋Ｑn-2　　　(n=2,3,･･･)

で

　　ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n　　　(n=1,2,･･･)

　　ＰnＱn-2−Ｐn-2Ｑn＝（−１）^n-1ｑn　　　(n=2,3,･･･)

が成り立ちます．

　また，

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，ｑn，ｑn+1，・・・］

の部分列［ｑn，ｑn+1，・・・］に対して

　　αn＝［ｑn，ｑn+1，・・・］

なる実数αnを定めると

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，αn］

　　　＝（αnＰn-1＋Ｐn-2）／（αnＱn-1＋Ｑn-2）

が証明されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝