■連分数の測度論(その14)

[1] logΠ{klog2(1+1/k(k+2))}

=Σlog{klog2(1+1/k(k+2))}

[2] logΠ(1+1/k(k+2))^logk/log2

=Σlogk/log2・log(1+1/k(k+2))

=Σlogk・log(1+1/k(k+2))/log2

 log(1+1/k(k+2))/log2=log2(1+1/k(k+2))

であるから,両者は元々異なるものである.

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【1】ベンフォードの法則

 ベンフォードの法則について調べてみます.たとえば,2のベキ乗2^nを順に並べてそれぞれの最大桁の数が1ではじまる数が多いことに気づきます.

 1938年,GEの物理学者ベンフォードは対数表の対数表の最初が残りの部分よりもひどく汚れていることに気づき,「1ではじまる数が多いのはなぜか」という問題に説明を与えました.

 先頭の数字がどのような確率で出現するかを考えましょう.単純に各数字(0〜9)の出現確率が同じと考えれば,同じ確率1/9で現れるはずですが,実際には1から始まる数値が圧倒的に多く30%くらいもあります.

 たとえば,簡単な例として,2のベキ乗2^nを順に並べてそれぞれの最大桁の数を取り出すと

  2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,・・・

  →2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,・・・

となっているのですが,倍にした数が9で始まるためには,その前の数字が45−49で始まっていなければなりません.それに対して,5−9で始まる数はどれも倍にすると1で始まる数になります.そして,最大桁がk(1≦k≦9)である確率はn→∞のとき,

  log10((k+1)/k)=log10(1+1/k)

に収束することが知られています.

 したがって,最大桁の頻度は1が一番高く

  1→log102=0.3010,

以下,

  2→log103/2=0.1761,

  3→log104/3,

  ・・・・・・・・・,

  9→log1010/9=.0458

の順になるというわけです.

 このことは計算尺を見れば1で始まる数が全体の約30%を占めることとまったく同じで,逆に,9から始まる数値は4.5%程度まで落ちるのです.この現象はベンフォードの法則として知られていますが,実はアメリカの天文学者ニューカムが1881年に発見したのが最初ということです.

[補]フィボナッチ数の1000項までの最高位の数もこの法則に従っていることがわかります.

数     1   2   3  4  5  6  7  8  9

頻度  301 177 177 96 80 67 56 53 45

 フィボナッチ(Fibonacci)数列は,項比が黄金比に近づくという性質がなかに隠されている慨指数関数的増加数列なのですが,黄金比がギリシア文字のφで表されることから,phi-bonacci数列と呼ぶ人さえいます.

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