■完全無欠の擬似素数(その6)

[Q]p1,p2,p3は素数で,

  p1=6n+1,p2=12n+1,p3=18n+1

このとき,p1p2p3はカーマイケル数であることを示せ.

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[1]p1p2p3≠0  (modp1^2)

[2]p1p2p3≠0  (modp2^2)

[3]p1p2p3≠0  (modp3^2)

[4]p1p2p3=1  (mod6n)

[5]p1p2p3=1  (mod12n)

[6]p1p2p3=1  (mod18n)

であることがいえればよいことになる.

 p1p2p3=6・12・18n^3+(6・12+12・18+18・6)n^2+(6+12+18)n+1より,[4][5][6]→OK

 p1p2=6・12n^2+(6+12)n+1より[3]→OK

 p2p3=12・18n^2+(12+18)n+1より[1]→OK

 p3p1=18・6n^2+(18+6)n+1より[2]→OK

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[まとめ]これらの条件は,n=1,6,35のとき満たされる.

 n=1:7・13・19はカーマイケル数である.

 n=6:37・73・109はカーマイケル数である.

 n=35:211・421・631はカーマイケル数である.

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