■フィボナッチ数とその仲間達(その10)

【2】√3に収束する数列

 同様にして,√3の最良近似では

  (2+√3)^n=an+bn√3

  (2−√3)^n=an−bn√3

より

  an+1=4an−an-1,bn+1=4bn−bn-1

 α,βを2次方程式x^2−4x+1=0の根2±√3として,初期値をa1=1,a2=2,a3=7,b1=0,b2=1,b3=4とすると

  an/bn→ √3

となります.

 近似分数列{an/bn}で非常によく近似できる実数αについて

  |α−an/bn|<1/bn^2

が成立するならば,αは無理数です(ディリクレの定理).

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[まとめ]

 同じ,ω1=2+√3,ω2=2−√3であったとしても,ペル方程式

  an^2−3bn^2=(−1)^n

  gn+1=(gn)^2−2,g0=4

という違いが見られる.

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