（その２）において，素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

を使うと，大きなｎに対して

　　π（２ｎ）−π（ｎ）〜２ｎ／ｌｏｇ２ｎ−ｎ／ｌｏｇｎ〜ｎ／ｌｏｇｎ

が成り立つ．

　　π（（ｎ＋１）^2）−π（ｎ^2）〜（ｎ＋１）^2／２ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ^2／２ｌｏｇｎ〜ｎ／ｌｏｇｎ

　　π（（ｎ＋１）^3）−π（ｎ^3）〜（ｎ＋１）^3／３ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ^3／３ｌｏｇｎ〜ｎ^2／ｌｏｇｎ

としたが，再考してみたい．

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　ｘを非常にに大きい数とする．ｘとｘ＋εの間の素数の個数は

　　π（ｘ＋ε）−π（ｘ）

で与えられるが，その近似値が欲しい．

π（ｘ＋ε）〜（ｘ＋ε）／ｌｏｇ（ｘ＋ε）

（ｘ＋ε）＝ｘ（１＋ε／ｘ）より，

π（ｘ＋ε）〜（ｘ＋ε）／｛ｌｏｇｘ＋ｌｏｇ（１＋ε／ｘ）｝

　ε／ｘは非常に小さいと仮定できるので

π（ｘ＋ε）〜（ｘ＋ε）／ｌｏｇｘ

したがって，

　　π（ｘ＋ε）−π（ｘ）＝ε／ｌｏｇｘ

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　　π（２ｘ）−π（ｘ）＝π（ｘ＋ｘ）−π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

　　π（（ｘ＋１）^2）−π（ｘ^2）

＝π（ｘ^2＋２ｘ＋１）−π（ｘ）

〜２ｘ／ｌｏｇｘ^2〜ｘ／ｌｏｇｘ

　　π（（ｘ＋１）^3）−π（ｘ^3）

＝π（ｘ^3＋３ｘ^2＋３ｘ＋１）−π（ｘ）

〜３ｘ^2／ｌｏｇｘ^3〜ｘ^2／ｌｏｇｘ

　いずれも妥当な評価であることが確かめられたことになる．

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