２次の無理数では，ある数ｃが存在して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^2

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つことが導かれたが，リューヴィルはこのような定理がより一般の任意の代数的無理数に対しても成立することを証明した．

　すなわち，代数的数αの次数をｎ（≧２）とすると，

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^n

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つ（リューヴィルの定理，１８４４年）．

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【１】ロスの定理

　それでは，代数的数αに対して

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^k

を満たす有理数ａ／ｂは有限個しかないというｋはいくつになるのだろうか？　　あるいは，任意の数ｃに対して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^k

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つｋはいくつになるのだろうか？

　この指数ｋを改良するために多くの研究がなされた．「ロスの定理」は最良のものである．

　　ｋ≧ｎ　　　（リューヴィル，１８４４）

　　ｋ＞ｎ／２＋１　　　（トゥエ，１９０９）

　　ｋ＞２√ｎ　　　（ジーゲル，１９２１）

　　ｋ＞√（２ｎ）　　　（ダイソン，ゲルファント，１９４７）

　　ｋ＞２　　　（ロス，１９５５）

［補］ロスはドイツの数学者なので，ロートと訳すべきであった．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ロスの定理はｋのある値に対して，

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^k

となるｃの値が存在することを証明したが，ｃの値を具体的に定めることはできない．そうではあるが，特別な代数的数に対しては効果的な結果が得られている．たとえば，ベイカーは超幾何関数の性質を用いて，すべての有理数ｐ／ｑに対して

　　｜3√２−ｐ／ｑ｜＞１０^-6／ｑ^2.955

が成り立つことを証明した（１９６４年）．ｎ≧３の一般の代数的無理数に対するｃの値を具体的に与えられる希望が見えてきたのである．

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