Ｆn＝２^(2^n)＋１

の形の素数をフェルマー素数といいます．Ｆ0＝３，Ｆ1＝５，Ｆ2＝１７，Ｆ3＝２５７，Ｆ4＝６５５３７２５７は素数であることがわかります．

　３，５，１７が素数であることは明らかですが，たとえば，２５７については√２５７＝１６．０３・・・ですから，これより小さい素数２，３，５，７，１３が２５７を割らないことを確かめればよいことになりますし，６５５３７２５７については，√６５５３７２５７＝２５６．０・・・ですから，今度は２，３，５，・・・，２３３，２３９，２４１，２５１と５５個の素数で６５５３７２５７を割らないことを確かめます．

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【１】オイラーとフェルマー素数

　フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｎ＝５であっけなく破綻してしまいました．

　　Ｆ5＝２^(2^5)＋１＝２^32＋１

＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　この間違いを発見したのはフェルマーから約１００年後のオイラーです．彼は約数６４１をあてずっぽうでみつけたのでも，２，３，５，７，・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません．オイラーはＦnが合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ２^(n+2)＋１であることを知っていて，Ｆ5の中の因数６４１＝５・２^7＋１を見つけたのです（１７３２年）．

　ベネットは，実際に割り算することなしにこのことを確認しています．すなわち，

　　６４１＝５^4＋２^4＝５・２^7＋１

　　２^28（５^4＋２^4）／６４１＝２^28　（余り０）

　　（（５・２^7）^4−１）／６４１＝（５・２^7−１）（（５・２^7）^2＋１）　（余り０）

したがって，２^28（５^4＋２^4）−（（５・２^7）^4−１）＝２^32＋１も６４１で割り切れる．

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