■ソーセージ予想(その6)

[1]2nSn-1=2n(n−1)Vn-1

[2]Vn-1(1/2−δ/2π)・n(n+1)(n−1)

  δ=cos(1/n)

[3]2^(n-1)/2(n+1)√n/(n−1)!

 まだ,おかしいところがある.n=2のとき,[2]は頂点まわりとなるので,[2]=0とする.他にもプログラムの間違いがあったので修正.

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 n=2〜9まで調べたが,n≧5のとき,[1]<[2]+[3]が成り立った.

n      [1]  [2]+[3]

2       8        6

3 37.6991  33.2878

4 100.531  91.6212

5 197.392  205.955

6 315.827  380.014

7 434.087  594.875

8 529.173  814.660

9 584.453  998.919

[3]は急激に小さくなる.[1],[2]だけ大小比較しても,n≧5のとき,[1]<[2]が成り立った.

n      [1]      [2]       [3]

2       8        0         6

3 37.6991  25.3596   6.92820

4 100.531  86.9071   4.71404

5 197.392  203.719   2.23607

6 315.827  379.206   .808290

7 434.087  594.640   .235178

8 529.173  814.603  .0571429

9 584.453  998.907  .0119048

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[まとめ]

 このことから,ソーセージ予想「n≧5のとき,n次元球を配置して,その凸包の体積を最小にするには,直線状に並べるの最善配置である」が生まれたと思われる.

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