（その１）では「オイラーの恒等式」を紹介したが，今回は超幾何関数に関係したいくつかのおもしろい分数式の恒等式を紹介したい．「オイラーの恒等式」に較べるとずいぶん厳めしいので，まず超幾何関数の説明から始めたい．
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【１】超幾何関数
ガウスは，１８１２年に超幾何級数
Ｆ（α，β，γ：ｘ）＝１＋αβ／γｘ＋1/2!α（α＋１）β（β＋１）／γ（γ＋１）ｘ^2＋1/3!α（α＋１）（α＋２）β（β＋１）（β＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ^3＋・・・
について非常に詳細な研究を行っていたことで知られています．この形の超幾何関数はガウスの超幾何関数と呼ばれ，
2Ｆ1(α，β；γ：ｘ）
で表されます．
この級数が重要なのは，多くの既知の関数がこの級数で表されるという事実で，たとえば，
ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ2Ｆ1（１，１；２：−ｘ）
（１＋ｘ）^n＝2Ｆ1（-n，β；β：ｘ）
があげられます．
また，
Ｆ（α；γ：ｘ）＝１＋α／γｘ＋1/2!α（α＋１）／γ（γ＋１）ｘ^2＋1/3!α（α＋１）（α＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ^3＋・・・
の場合を合流形超幾何関数（またはクンマーの超幾何関数）と呼び，
1Ｆ1(α；γ：ｘ）で表されます．
一般に，Ｆ（ｘ）＝Σａnｘnとおくと，ａ0=1で連続する２項の係数比
ａn+1／ａn
が定数となる関数を超幾何関数と呼びます．
超幾何関数はもっと一般化することが可能でp個の上部パラメータとq個の下部パラメータを有する超幾何関数は
pＦq(a1,a2,･･･,ap;b1,b2,･･･,bq;x)と表されます．
ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+a1)(n+a2)･･･(n+ap)/(n+b1)(n+b2)･･･(n+bq)x/(n+1)
すなわち，超幾何関数は，項比が有理関数
ａn+1ｘn+1/ａnｘn=p(n)/q(n)x/(n+1)
であるような級数にほかなりません
（例）
(2n,n)の漸化式は
(2n,n)=(2n)!/n!n!=2(2n-1)/n(2(n-1),n-1)
であり，したがって，
n^4(2n,n)=2(2n-1)n^3(2(n-1),n-1)
=2(2n-1)n^3/(n-1)^4*(n-1)^4(2(n-1),n-1)
なる漸化式が得られる．ここで，Σ1/n^4(2n,n)が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，
Σ1/(n+1)^4(2(n+1),n+1)
この級数の項比は
ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1)^5/2(2n+3)(n+2)^2*x/(n+1)
であるから，
Σ1/(n+1)^4(2(n+1),n+1)=ａ0*5Ｆ4(1,1,1,1,1|1/4)
(3/2,2,2,2| )
また，ａ0=1/2より
Σ1/(n+1)^4(2(n+1),n+1)=1/2*5Ｆ4(1,1,1,1,1|1/4)
(3/2,2,2,2| )
これより，級数Σ1/n^4(2n,n)は超幾何級数であると同定される．
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【２】足して零になる分数式
ここで取り上げる分数式は，数学書房「この定理が美しい」に収載された
［参］白石潤一「おもしろい有理式」
で紹介されているものである．
０＝１−１
０＝１−２（ａ＋２）／（ａ＋３）＋（ａ＋１）／（ａ＋３）
０＝１−３（ａ＋２）／（ａ＋４）＋３（ａ＋１）／（ａ＋５）−（ａ＋１）（ａ＋２）／（ａ＋４）（ａ＋５）
０＝１−４（ａ＋２）／（ａ＋５）＋６（ａ＋１）（ａ＋４）／（ａ＋５）（ａ＋６）−４（ａ＋１）（ａ＋２）／（ａ＋５）（ａ＋７）＋（ａ＋１）（ａ＋２）（ａ＋３）／（ａ＋５）（ａ＋６）（ａ＋７）
各項の整数係数は二項係数であることはわかるが，ａの有理式の数学的構造は入り組んでいる．答えは
Σ(0,n)(-1)^k(n,k)(a+2k)･(a+1)(a+2)･･･(a+n-1)/(a+n+1)(a+n+2)･･･(a+n+k)=0
で与えられる．パラメータは第０項から始まるからずらす必要はない．この級数の項比は
ａk+1ｘk+1/ａkｘk=(-n+k)(a+2k+2)(a+k)/(a+2k)(a+n+k+1)*x/(k+1)
またａ0=1であるから，この級数は超幾何級数
3Ｆ2(a,1+a/2,-n|1)=0
(a/2,a+n+1 | )
であると同定される．
また，この級数は
3Ｆ2(a,b,-n |1)=(1+a)n(1+a/2-b)n/(1+a/2)n(1+a-b)n
(1+a-b,1+a+n| )
において，ｂ＝１＋ａ／２とした場合に相当する．
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【３】足すと変数の１次式の商に因数分解される分数式
１−ａｂ／ｃ（ａ＋ｂ−ｃ）＝（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）／ｃ（ｃ−ａ−ｂ） １−２ａｂ／ｃ（ａ＋ｂ−ｃ−１）＋ａ（ａ＋１）ｂ（ｂ＋１）／ｃ（ｃ＋１）（ａ＋ｂ−ｃ−１）（ａ＋ｂ−ｃ）＝（ｃ−ａ）（ｃ−ａ＋１）（ｃ−ｂ）（ｃ−ｂ＋１）／ｃ（ｃ＋１）（ｃ−ａ−ｂ）（ｃ−ａ−ｂ＋１）
この級数は超幾何級数
3Ｆ2(a,b,-n |1)=(c-a)n(c-b)n/(c)n(c-a-b)n
(c,1+a+b-c-n| )
であると同定されるが，もっと一般化することができて，d+e=a+b+c+1でｃが負の整数ならば
3Ｆ2(a,b,c|1)=(d-a)|c|(d-b)|c|/(d)|c|(d-a-b)|c|
(d,e | )
Saalschuetzの3F2恒等式と呼ばれるが，１７９７年にPfaffにより導かれ，１８９０年にSaalschuetzにより再発見されたPfaff-Saalschuetzの公式である．
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