■素数定理の仲間達(その7)

  Π(p^2+1)/(p^2−1)=5/2

  Π(n^2+1)/(n^2−1)=sinh(π)/π

 したがって,pを素数,qを非素数とすると

  Π(q^2+1)/(q^2−1)=2sinh(π)/5π

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 つぎに,

  Π(p^4+1)/(p^4−1)=Π(p^8−1)/(p^4−1)^2=Π(1−1/p^8)/(1−1/p^4)^2

 等比級数に展開すると

  Π(1−1/p^8)/(1−1/p^4)^2=Π(1+1/p^4+1/p^8+・・・)^2/Π(1+1/p^8+1/p^16+・・・)=(Σ1/n^4)^2/(Σ1/n^8)

  Σ1/n^2=ζ(2)=π^2/6,Σ1/n^4=ζ(4)=π^4/90,Σ1/n^8=ζ(8)=π^8/9450より

  Π(p^4+1)/(p^4−1)=(π^8/90^2)/(π^8/9450)=109/90

  Π(n^4+1)/(n^4−1)=?

については割愛.

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