【１】ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

　　１＝｛（ｚ^2＋Ｎ）／（ｚ^2−Ｎ）｝^2−Ｎ（２ｚ／（ｚ^2−Ｎ））^2

【２】Speckmann-Ricaldeの恒等式

　　（ｋ^2ｍ±１）^2−（ｋ^2ｍ^2±２ｍ）ｋ^2＝１

［Ｍ＋］　　（ｋ^2ｍ＋１）^2−（ｋ^2ｍ^2＋２ｍ）ｋ^2＝１

［Ｍ−］　　（ｋ^2ｍ−１）^2−（ｋ^2ｍ^2−２ｍ）ｋ^2＝１

との対応がわかったので，次は，・・・

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【３】２平方恒等式（ブラーマグプタ・フィボナッチの恒等式）

　複素数ｘ＝ａ＋ｂｉの絶対値は｜ｘ｜^2 ＝ａ^2 ＋ｂ^2 ＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）で与えられますが，ここで，数の体系に「積のベクトルの大きさはベクトルの大きさの積に等しい」という条件が要請されているとしましょう．

　複素数ｘ＝ａ＋ｂｉとｙ＝ｃ＋ｄｉの積

ｘｙ＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ−ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ

は同じ空間内のベクトルとして表されますが，

（ａ^2 ＋ｂ^2 ）（ｃ^2 ＋ｄ^2 ）＝（ａｃ−ｂｄ）^2 ＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

より，｜ｘ｜・｜ｙ｜＝｜ｘｙ｜が満たされていることがわかります．

　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

（ａ^2 ＋ｂ^2 ）（ｃ^2 ＋ｄ^2 ）＝（ａｃ−ｂｄ）^2 ＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

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