■太鼓の形は聞こえない(その42)

  f1=n(n-1)/4・f0

  f2=n(n-1)(n-2)/6・f0,n>3

  f3=n(n-1)(n-2)^2/24・f0,n>3

 n-k=1,2,3が公式通り

  fn-k={k(n,k)/(n-k+1)+(n,k)/2^n-k-1}f0

になっているか確かめてみたい.

===================================

[1]n-k=3

  f3={(n-3)(n,n-3)/4+(n,n-3)/4}f0

  f3={(n-3)(n,3)/4+(n,3)/4}f0

={(n-3)n(n-1)(n-2)/24+n(n-1)(n-2)/24}f0

=n(n-1)(n-2)/24{(n-3)+1}f0

=n(n-1)(n-2)^2/24・f0   (OK)

[2]n-k=2

  f3={(n-2)(n,n-2)/3+(n,n-2)/2}f0

  f3={(n-2)(n,2)/3+(n,2)/2}f0

={(n-2)n(n-1)/6+n(n-1)/4}f0

=n(n-1)/2{(n-2)/3+1/2}f0

=n(n-1)(2n-1)/12・f0   (NG)

[3]n-k=1

  f3={(n-1)(n,n-1)/2+(n,n-1)/1}f0

  f3={(n-1)(n,1)/2+(n,1)/1}f0

={(n-1)n/2+n}f0

=n/2{(n-1)+2}f0

=n(n+1)/2・f0   (NG)

===================================

[まとめ]

  fn-k={k(n,k)/(n-k+1)+(n,k)/2^n-k-1}f0

が使えるのは,n-k≧3ということになる.これは予想通りであった.

===================================