■ペル恒等式(その24)

[M-]について,z=y/xとしてやってみる.

  (k^2m-1)^2-(k^2m^2-2m)k^2=1

  1={(x^2+Ny^2)/(x^2-Ny^2)}^2-N(2xy/(x^2-Ny^2))^2

  1={(1+Nz^2)/(1-Nz^2)}^2-N(2z/(1-Nz^2))^2

===================================

N←→k^2m^2-2m

k^2m-1←→(1+Nz^2)/(1-Nz^2)

←→2/(1-Nz^2)-1

k^2←→{2z/(1-Nz^2)}^2

とする.

k^2←→{2z/(1-Nz^2)}^2

k^2m←→2/(1-Nz^2)

m←→(1-Nz^2)/2z^2

あとは

N←→k^2m^2-2m

が成り立つかどうかである.

k^2m^2-2m

←→1/z^2-(1-Nz^2)/z^2

←→N

===================================

 逆変換は

(1-Nz^2)=2/k^2m

Nz^2=1-2/k^2m=(k^2m-2)/k^2m

N=k^2m^2-2mを代入すると

z^2=1/k^2m^2

あるいは,

m←→(1-Nz^2)/2z^2

(1-Nz^2)=2mz^2

z^2=1/(N+2m)=1/k^2m^2,この方が簡単である.

===================================

[まとめ]

 [M+][M-]とはどうしても対称性の高い形にはならないようである.

===================================