仕切り直し．

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【１】ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

に，ｘ1＝ｘ2＝ｘ，ｙ1＝ｙ2＝ｙ

を代入すると

　　（ｘ^2−Ｎｙ^2）^2＝（ｘ^2＋Ｎｙ^2）^2−４Ｎ（ｘｙ）^2

　　｛（ｘ^2−Ｎｙ^2）／２｝^2＝｛（ｘ^2＋Ｎｙ^2）／２｝^2−Ｎ（ｘｙ）^2

　　１＝｛（ｘ^2＋Ｎｙ^2）／（ｘ^2−Ｎｙ^2）｝^2−Ｎ（２ｘｙ／（ｘ^2−Ｎｙ^2））^2

　さらに，ｚ＝ｘ／ｙとおくと，

　　１＝｛（ｚ^2＋Ｎ）／（ｚ^2−Ｎ）｝^2−Ｎ（２ｚ／（ｚ^2−Ｎ））^2

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【２】Speckmann-Ricaldeの恒等式

　　（ｋ^2ｍ±１）^2−（ｋ^2ｍ^2±２ｍ）ｋ^2＝１

Ｎ←→ｋ^2ｍ^2＋２ｍ

ｋ^2ｍ＋１←→（ｚ^2＋Ｎ）／（ｚ^2−Ｎ）

←→２Ｎ／（ｚ^2−Ｎ）＋１

ｋ^2←→｛２ｚ／（ｚ^2−Ｎ）｝^2

とする．

ｋ^2←→｛２ｚ／（ｚ^2−Ｎ）｝^2

ｋ^2ｍ←→２Ｎ／（ｚ^2−Ｎ）

ｍ←→Ｎ（ｚ^2−Ｎ）／２ｚ^2

あとは

Ｎ←→ｋ^2ｍ^2＋２ｍ

が成り立つかどうかである．

ｋ^2ｍ^2＋２ｍ

←→Ｎ^2／ｚ^2＋Ｎ（１−Ｎ／ｚ^2）

←→Ｎ

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　逆変換は

ｋ^2ｍ（ｚ^2−Ｎ）＝２Ｎ

ｚ^2＝２Ｎ／ｋ^2ｍ＋Ｎ

Ｎ＝ｋ^2ｍ^2＋２ｍを代入すると

ｚ^2＝２ｍ＋４／ｋ^2＋ｋ^2ｍ^2＋２ｍ

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