■フィボナッチ数とその仲間達(その5)

【1】ペル数

 an=2an-1+an-2という漸化式で生成される数列

  1,2,5,12,29,70,169,408,・・・

はペル数列と呼ばれます.ペル数列の特性方程式

  x^2−2x−1=0

の2根を

  γ=1+√2,δ=1−√2

とおくと,ペル数列の一般項は,

  pn =1/2√2(γ^n+1−δ^n+1)   (n:0~)

 連続する2項の比は

  1+√2

に次第に近づくことになります.

 また,ペル・リュカ数列

  2,2,6,14,34,82,・・・

の一般項は

  Qn =γ^n+δ^n   (n:0~)

で表されます.

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【2】フィボナッチ数とリュカ数

 an=an-1+an-2という漸化式で生成される数列の特性方程式

  x^2−2x−1=0

の2根を

  α=(1+√5)/2,β=(1−√5)/2

とおくと,フィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,・・・

の一般項は,

  fn =1/√5(α^n+1−β^n+1)   (n:0~)

  

リュカ数列

  2,1,3,4,7,11,・・・

の一般項は

  Ln=α^n+β^n   (n:0~)

で表されます.

 なお,

  α=(1+√5)/2,β=(1−√5)/2

とおくと,フィボナッチ数

  fn=1/√5{α^n+1−β^n+1}

とリュカ数

  Ln=α^n+β^n

に対して,関係式(カッシーニの等式)

  fn+1fn-1−fn^2=−(−1)^n

  Ln+1Ln-1−Ln^2=5(−1)^n+1

が示されます.

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