■数とあそぶ(その56)

 √2の最良近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,・・・です.このような分数を全部求めるには1/1から出発して1+1=2が次の分母になり,1+2=3が次の分子になる,3+2=5が第3の分母,2+5=7が第3の分子になる,すなわち,1つ前の分数の分子と分母の和が次の分母になり,ひとつ前の分数の分母を2倍したものとその分子の和が次の分子になり,同様に続いていくという算術的な規則があります.

  1/1↓ ↑3/2↓ ↑7/5↓ ↑17/12↓ ↑41/29↓ ・・・

 すなわち,ペル方程式:p^2−2q^2=±1を満たすp/qがひとつの分数で,P/Qが次の分数だとすると

  Q=p+q,P=q+Q=p+2q

  P^2−2Q^2=2q^2−p^2=±1

となって,P/QもまたP^2−2Q^2=±1となる分数を与えることができることになります.1/1から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです.

  p/q→P/Q=(p+2q)/(p+q)

(−1) 1/1<7/5<41/29<239/169<・・・<√2<・・・<577/408<99/70<17/12<3/2 (+1)

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 (その40)において,

  tn+1+√2un+1=(1+√2)(tn+√2un)

          =(tn+2un)+√2(tn+un)

より

  tn+1=tn+2un

  un+1=tn+un

  p/q→P/Q=(p+2q)/(p+q)

に対応しているというわけです.

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