【１】ペル方程式の解法

　ｍを平方数でない自然数とすると，いわゆるペル方程式とは

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝±１

で表されるものです．

　Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

で表されます．基本単数εのノルムが−１のときには

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝＋１

と

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝−１

はどちらも無数の解をもちますが，εのノルムが＋１のときには解はすべて前者の解であって，後者は解をもちません．

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　ペル方程式：ｘ^2−ｄｙ^2＝１について，フェルマーは少なくとも１つの自明でない整数解（（ｘ，ｙ）＝（±１，０）以外の解が存在するだろうと予想しましたが，この予想は１７６８年，ラグランジュにより証明されています．

　この方程式は無限に多くの解をもち，基本解（最小の整数解）を（ｘ，ｙ）とおくと一般解は

　　±（ｘ＋ｙ√ｄ）^n　　　ｎ＝０，±１，±２，・・・

により与えられます．ペル方程式は√ｄの最良近似値を次々に生成する所以です．

　Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

により与えられます．

　　（１＋√２）（１−√２）＝−１

　　（１＋√２）^2（１−√２）^2＝１

　　（１＋√２）^3（１−√２）^3＝−１

　　（１＋√２）^4（１−√２）^4＝１

より，ｘ^2−２ｙ^2＝±１の解を（ｔn，ｕn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝１の解を（ｘn，ｙn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝−１の解を（ｒn，ｓn）

とおくと

　　ｔn＋√２ｕn＝（１＋√２）^n

　　ｘn＋√２ｙn＝（１＋√２）^2n（３＋２√２）^n

　　ｒn＋√２ｓn＝（１＋√２）^2n-1＝（１＋√２）（３＋２√２）^n-1

で与えられます．

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［まとめ］

　ｘ^2−２ｙ^2＝±１の一般解は

　　ｔn＋√２ｕn＝（１＋√２）^n

　ｘ^2−２ｙ^2＝１の一般解は

　　ｘn＋√２ｙn＝（１＋√２）^2n（３＋２√２）^n

　ｘ^2−２ｙ^2＝−１の一般解は

　　ｒn＋√２ｓn＝（１＋√２）^2n-1＝（１＋√２）（３＋２√２）^n-1

で与えられるというわけです．

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