■数とあそぶ(その42)

 フェルマーは

(Q)与えられた非平方数をmとし,求めたい平方数をy^2で表すとき,my^2+1が平方数になるようにせよ

というペル方程式の問題をイギリスの数学者たちに向けて提示しました.

 フェルマーの挑戦を受けて,ウォリスやブラウンカーたちが解答を試みましたがまだ不十分で,完全な解答に到達するにはオイラーやラグランジュを俟たなければなりませんでした,

 これまではx^2−my^2=±1を扱ってきましたが,今回はx^2−my^2=±4の場合を考えてみます.

  [参]細矢治夫,お茶の水大学自然科学報告,第57巻第2号(2006)

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【1】基本単数

 m=1(mod4)のとき,基本単数を

  ε=(a+b√m)/2   a=b(mod2)

と書けば

  a^2−mb^2=±4

となること以外は,a^2−mb^2=±1と同様です.

 Q(√5),Q(√13)の基本単数を求めると,それぞれ,

  x^2−5y^2=±4,複号は−4で(1,1)が最小→ε=(1+√5)/2

  x^2−13y^2=±4,複号は−4で(3,1)が最小→ε=(3+√13)/2

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【2】漸化式

   x^2−dy^2=4の最小解を(x1,y1),

   x^2−dy^2=−4の最小解を(r1,s1)

とおくと,漸化式

  cn+2 =x1cn+1−cn   (c=x,y,r,s)

  cn+2 =r1cn+1+cn   (c=t,u)

が成り立つ.

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【3】チェビシェフ多項式

  Cn(x)=2Tn(x/2)

  Sn(x)=Un(x/2)

と定義すると

  xn=Cn(x1),yn=y1Sn-1(x1)

  tn=C~n(t1),un=u1S~n-1(t1)

  xn=C~2n(t1),yn=u1C~2n-1(t1)

  rn=C~2n-1(r1),sn=s1S~2n-2(r1)

と表される.

C0(x)=2         C~0(x)=1        

C1(x)=x         C~1(x)=x        

C2(x)=x^2−2     C~2(x)=x^2+2     

C3(x)=x^3−3x    C~3(x)=x^3+3x    

C4(x)=x^4−4x^2+2 C~4(x)=x^4+4x^2+2

S0(x)=1         S~0(x)=1       

S1(x)=x         S~1(x)=x        

S2(x)=x^2−1     S~2(x)=x^2+1    

S3(x)=x^3−2x    S~3(x)=x^3+2x   

S4(x)=x^4−3x^2+1 S~4(x)=x^4+3x^2+1

 なお,

  α=(1+√5)/2,β=(1−√5)/2

とおくと,フィボナッチ数

  Fn=1/√5{α^n+1−β^n+1}

とリュカ数

  Ln=α^n+β^n

に対して,関係式

  Fn+1Fn-1−Fn^2=(−1)^n

  Ln+1Ln-1−Ln^2=5(−1)^n+1

  Cn(i)=i^nLn

  Sn(i)=i^nFn

が示される.

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